Seja X uma variável aleatória cuja distribuição é P(X = x) = 1/4, para x∈ {-1,1,2,3}. Calcule a distribuição de Y = X2 e assinale a alternativa correta:
y = -1,1,2,3 P( Y = y) = 1/4
P(Y = 1) = 1/2
P(Y = 2) = 1/2
P(Y = 9) = 1/3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ que pode assumir os valores -1, 1, 2 e 3, cada um com a mesma probabilidade de $ \frac{1}{4} $. Nosso objetivo é encontrar a distribuição de uma nova variável aleatória $ Y $, que é igual ao quadrado de $ X $ ($ Y = X^2 $). Para resolver isso, precisamos calcular as probabilidades de cada valor possível de $ Y $.

Passo 2

Vamos listar os valores que $ X $ pode assumir e calcular $ Y = X^2 $ para cada um deles:
  • Se $ X = -1 $, então $ Y = (-1)^2 = 1 $.
  • Se $ X = 1 $, então $ Y = (1)^2 = 1 $.
  • Se $ X = 2 $, então $ Y = (2)^2 = 4 $.
  • Se $ X = 3 $, então $ Y = (3)^2 = 9 $.

Passo 3

Agora, identificamos os valores únicos que $ Y $ pode assumir: 1, 4 e 9. Vamos calcular a probabilidade de cada um desses valores:
  • $ P(Y = 1) $: Isso ocorre quando $ X = -1 $ ou $ X = 1 $. Como cada um tem probabilidade $ \frac{1}{4} $, então $ P(Y = 1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $.
  • $ P(Y = 4) $: Isso ocorre somente quando $ X = 2 $. Então, $ P(Y = 4) = \frac{1}{4} $.
  • $ P(Y = 9) $: Isso ocorre somente quando $ X = 3 $. Então, $ P(Y = 9) = \frac{1}{4} $.

Resposta

A distribuição de $ Y = X^2 $ é:
  • $ P(Y = 1) = \frac{1}{2} $
  • $ P(Y = 4) = \frac{1}{4} $
  • $ P(Y = 9) = \frac{1}{4} $
Portanto, a alternativa correta é:
$ P(Y = 1) = \frac{1}{2} $

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