Suponha que A e B sejam eventos independentes. Observe as afirmativas abaixo e assinale a alternativa incorreta:
a) P (A|B) = P (A)
b) AC e B também são eventos independentes.
c) A e BC também são eventos independentes.
d) AC e BC não são independentes.
e) P(A∩B) = P (A)
a) P (A|B) = P (A)
b) AC e B também são eventos independentes.
c) A e BC também são eventos independentes.
d) AC e BC não são independentes.
e) P(A∩B) = P (A)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre eventos independentes A e B. Isso significa que a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. A gente precisa analisar as alternativas de (a) a (e) e descobrir qual delas está errada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa eventos independentes. Se A e B são independentes, então:
E também:
Isso quer dizer que a probabilidade de A acontecer, dado que B aconteceu, é a mesma de A acontecer sozinho.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada alternativa:
a) $ P(A|B) = P(A) $
Essa está correta! Já vimos que para eventos independentes, a probabilidade condicional de A dado B é igual à probabilidade de A.
Essa está correta! Já vimos que para eventos independentes, a probabilidade condicional de A dado B é igual à probabilidade de A.
Passo 4
b) $ A^C $ e B também são eventos independentes.
Aqui, $ A^C $ é o complemento de A, ou seja, A não acontece. Para verificar a independência:
Aqui, $ A^C $ é o complemento de A, ou seja, A não acontece. Para verificar a independência:
Então, está correto. $ A^C $ e B são independentes.
Passo 5
c) A e $ B^C $ também são eventos independentes.
Similar ao passo anterior:
Similar ao passo anterior:
Então, está correto. A e $ B^C $ são independentes.
Passo 6
d) $ A^C $ e $ B^C $ não são independentes.
Vamos verificar:
Vamos verificar:
E:
Portanto, $ P(A^C \cap B^C) = P(A^C) \times P(B^C) $, o que mostra que são independentes. A alternativa d diz que não são independentes, então está INCORRETA.
Passo 7
e) $ P(A \cap B) = P(A) $
Para eventos independentes:
Para eventos independentes:
A menos que $ P(B) = 1 $, isso não é igual a $ P(A) $. Portanto, essa afirmação está INCORRETA.
Resposta
A alternativa d) é incorreta.