(1,0) Seja X uma variável aleatória discreta com distribuição de probabilidade
x 0 1 2
P(X=x) 0.5 0.4 ?
Calcule:
P(X>0)=?
P(X=2 \mid X>0)=?
E[X]=?
\sigma_{X}=?

Passo 1

O enunciado dá a distribuição discreta de X com a tabela:
\begin{array}{c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2\\hline P(X=x) & 0,5 & 0,4 & ? \end{array}
As perguntas que precisamos responder são:
  1. P(X>0)=?
  2. P(X=2 \mid X>0)=?
  3. E[X]=?
  4. \sigma_X=?
    Também vamos precisar encontrar a probabilidade faltante P(X=2) porque a soma das probabilidades deve ser 1.

Passo 2

A soma das probabilidades de todos os valores possíveis de X é 1. Então usamos a fórmula
\sum_x P(X=x)=1.
Substituindo os valores conhecidos:
P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1
0,5+0,4+P(X=2)=1.
Isolando P(X=2):
P(X=2)=1-(0,5+0,4)=1-0,9=0,1.
Logo P(X=2)=0,1.

Passo 3

Agora calculamos P(X>0). Por definição X>0 ocorre quando X=1 ou X=2, então
P(X>0)=P(X=1)+P(X=2).
Substituindo os valores:
P(X>0)=0,4+0,1=0,5.
Interpretação rápida: a probabilidade de obter um valor positivo é 50\%.

Passo 4

Para a probabilidade condicional P(X=2\mid X>0) usamos a definição de probabilidade condicional:
P(X=2\mid X>0)=\frac{P(X=2 \text{ e } X>0)}{P(X>0)}.
Como o evento “ \,X=2” está contido em “ \,X>0”, temos P(X=2 \text{ e } X>0)=P(X=2). Assim
P(X=2\mid X>0)=\frac{P(X=2)}{P(X>0)}=\frac{0,1}{0,5}=0,2.
Interpretação: entre os casos em que X>0, 20\% correspondem a X=2.

Passo 5

Agora calculamos a esperança E[X]. Para uma variável discreta,
E[X]=\sum_x x\,P(X=x),
onde cada termo é o valor x multiplicado pela sua probabilidade. Calculando:
E[X]=0\cdot 0,5 + 1\cdot 0,4 + 2\cdot 0,1.
Fazendo as multiplicações:
0\cdot 0,5=0,\quad 1\cdot 0,4=0,4,\quad 2\cdot 0,1=0,2.
Somando:
E[X]=0+0,4+0,2=0,6.

Passo 6

Para a variância usamos a fórmula
\operatorname{Var}(X)=E[X^2] - (E[X])^2,
onde
E[X^2]=\sum_x x^2 P(X=x).
Calculamos E[X^2]:
E[X^2]=0^2\cdot 0,5 + 1^2\cdot 0,4 + 2^2\cdot 0,1.
Isso dá
0+0,4+4\cdot 0,1 = 0,4+0,4 = 0,8.
Agora a variância:
\operatorname{Var}(X)=0,8 - (0,6)^2 = 0,8 - 0,36 = 0,44.

Passo 7

A desviopadrão \sigma_X é a raiz quadrada da variância:
\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{0,44}.
Podemos escrever uma forma exata simples:
\sqrt{0,44}=\frac{\sqrt{11}}{5},
e uma aproximação numérica:
\sigma_X\approx 0,6633.

Resposta

P(X>0)=0,5
P(X=2\mid X>0)=0,2
E[X]=0,6
\sigma_X=\sqrt{0,44}=\dfrac{\sqrt{11}}{5}\approx 0,6633

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