Uma empresa fabrica dois tipos de ligas metálicas, chamadas de Liga A e Liga B, usadas na produção de eletrônicos. A quantidade de níquel (em gramas) em uma unidade da Liga A segue uma distribuição normal com média \mu_{A}=30 e desvio padrão \sigma_{A}=3 para a Liga A, enquanto que para Liga B a distribuição é normal com \mu_{B}=36 e \sigma_{B}=2.
(a) Qual a prob. da quantidade de níquel em uma amostra da Liga A estar entre 27 e 33 ?

Passo 1

O enunciado diz que a quantidade de níquel em uma unidade da Liga A segue uma distribuição normal com média \mu_{A}=30 e desvio padrão \sigma_{A}=3. Queremos calcular a probabilidade de uma amostra dessa liga ter entre 27 g e 33 g de níquel. Para isso, usaremos a padronização para a variável normal padrão.

Passo 2

Escrevemos a probabilidade desejada em termos de X\sim N(30,3^{2}):
P(27 \le X \le 33).
Definindo Z = \frac{X - \mu_{A}}{\sigma_{A}} = \frac{X - 30}{3}, obtemos os limites padronizados:
\frac{27 - 30}{3} = -1, \qquad \frac{33 - 30}{3} = 1.
Logo,
P(27 \le X \le 33) = P\bigl(-1 \le Z \le 1\bigr).

Passo 3

Usamos a propriedade da distribuição normal padrão de que
P(-a \le Z \le a) = 2\Phi(a) - 1,
onde \Phi é a função de distribuição acumulada de Z. Aqui a=1, então
P(-1 \le Z \le 1) = 2\,\Phi(1) - 1.

Passo 4

Consultando a tabela da normal padrão, temos \Phi(1)\approx0,8413. Portanto,
P(-1 \le Z \le 1) = 2 \times 0,8413 - 1 = 0,6826.

Resposta

A probabilidade de a quantidade de níquel em uma amostra da Liga A estar entre 27 g e 33 g é aproximadamente 0{,}6826 (ou 68,26 %).

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