O tempo, em minutos, que leva para um sistema de computador processar uma solicitação é suposto seguir uma distribuição normal. Uma amostra aleatória de 15 solicitações resultou em uma variância amostral de 4,5 minutos. Determine o Intervalo de Confiança de 90 \% para a variância populacional.

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de confiança de 90\% para a variância populacional. As informações dadas são:
\;n=15 (tamanho da amostra),
\;s^{2}=4,5 (variância amostral),
e foi afirmado que os tempos seguem uma distribuição normal. Queremos construir um intervalo de confiança de nível 90\% para a variância populacional \sigma^{2}.

Passo 2

Por que isso é suficiente para construir o intervalo? Vou explicar passo a passo o que usamos: quando a amostra vem de uma população normal, existe uma estatística que envolve a variância amostral que tem distribuição qui-quadrado. Essa propriedade é a chave para construir um intervalo de confiança para \sigma^{2}. Não resolvo ainda — só explico que conhecendo n, s^{2} e assumindo normalidade, podemos usar a distribuição qui-quadrado.

Passo 3

A fórmula fundamental que vamos usar (e de onde ela vem) é a seguinte: se a amostra vem de uma população normal, então
\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}_{\nu}
onde \nu=n-1 é o número de graus de liberdade, S^{2} é a variância amostral (aqui conhecida como s^{2}), e \chi^{2}_{\nu} é a distribuição qui-quadrado com \nu graus de liberdade. Essa relação significa que a razão (n-1)S^{2}/\sigma^{2} tem uma distribuição conhecida, o que permite inverter probabilidades e obter um intervalo para \sigma^{2}.
Para um nível de confiança 1-\alpha (aqui 1-\alpha=0,90, então \alpha=0,10), usamos as quantis da qui-quadrado para escrever
P\!\left(\chi^{2}_{1-\alpha/2,\nu} \le \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} \le \chi^{2}_{\alpha/2,\nu}\right) = 1-\alpha.
Rearranjando para \sigma^{2} obtemos o intervalo de confiança
\frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\nu}} \le \sigma^{2} \le \frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\nu}}.
Aqui:
  • \nu=n-1 é o número de graus de liberdade,
  • \chi^{2}_{p,\nu} denota o quantil tal que P(\chi^{2}_{\nu} \le \chi^{2}_{p,\nu}) = p,
  • \alpha/2 e 1-\alpha/2 são as caudas para o intervalo bilateral.

Passo 4

Agora aplicamos ao nosso caso numérico. Primeiro calculamos os parâmetros:
\nu = n-1 = 15-1 = 14, \qquad (n-1)s^{2} = 14\cdot 4,5 = 63.
Temos \alpha=0,10 então \alpha/2=0,05. Precisamos das quantis qui-quadrado
\chi^{2}_{0,05,14} e \chi^{2}_{0,95,14}.
Consultando a tabela da distribuição qui-quadrado (ou software), obtemos aproximadamente:
\chi^{2}_{0,05,14} \approx 6,571, \qquad \chi^{2}_{0,95,14} \approx 23,685.

Passo 5

Substituímos na fórmula do intervalo:
limite inferior:
\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\nu}} = \frac{63}{\chi^{2}_{0,05,14}} = \frac{63}{6,571} \approx 9,59.
limite superior:
\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\nu}} = \frac{63}{\chi^{2}_{0,95,14}} = \frac{63}{23,685} \approx 2,66.
Note a ordem: o menor denominador gera o maior quociente, por isso o limite superior numérico fica maior. Para apresentar na ordem usual (limite inferior — limite superior) devemos colocar o menor valor primeiro. Observando os cálculos, o valor menor é aproximadamente 2,66 e o maior é aproximadamente 9,59. Portanto o intervalo é (2,66,\;9,59).

Passo 6

Interpretação rápida e dica para prova: com 90\% de confiança, podemos afirmar que a variância verdadeira \sigma^{2} está entre aproximadamente 2,66 e 9,59 (unidade: minutos ao quadrado). Em prova, mostre claramente: (i) a estatística qui-quadrado e graus de liberdade, (ii) os quantis usados (cite a tabela), (iii) substitua e calcule (n-1)s^{2}=63 e divida pelos quantis para obter os limites — assim você ganha pontos mesmo se arredondar os quantis.

Resposta

2,66 < \sigma^{2} < 9,59

Exercícios relacionados