O tempo, em minutos, que leva para um sistema de computador processar uma solicitação é suposto seguir uma distribuição normal. Uma amostra aleatória de 15 solicitações resultou em uma variância amostral de 4,5 minutos. Determine o Intervalo de Confiança de
para a variância populacional.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de confiança de
para a variância populacional. As informações dadas são:
(tamanho da amostra),
(variância amostral),
e foi afirmado que os tempos seguem uma distribuição normal. Queremos construir um intervalo de confiança de nível para a variância populacional
.
e foi afirmado que os tempos seguem uma distribuição normal. Queremos construir um intervalo de confiança de nível
Passo 2
Por que isso é suficiente para construir o intervalo? Vou explicar passo a passo o que usamos: quando a amostra vem de uma população normal, existe uma estatística que envolve a variância amostral que tem distribuição qui-quadrado. Essa propriedade é a chave para construir um intervalo de confiança para
. Não resolvo ainda — só explico que conhecendo
,
e assumindo normalidade, podemos usar a distribuição qui-quadrado.
Passo 3
A fórmula fundamental que vamos usar (e de onde ela vem) é a seguinte: se a amostra vem de uma população normal, então
onde
é o número de graus de liberdade,
é a variância amostral (aqui conhecida como
), e
é a distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade. Essa relação significa que a razão
tem uma distribuição conhecida, o que permite inverter probabilidades e obter um intervalo para
.
Para um nível de confiança
(aqui
, então
), usamos as quantis da qui-quadrado para escrever
Rearranjando para
obtemos o intervalo de confiança
Aqui:
-
é o número de graus de liberdade, -
denota o quantil tal que , -
e são as caudas para o intervalo bilateral.
Passo 4
Agora aplicamos ao nosso caso numérico. Primeiro calculamos os parâmetros:
Temos
então
. Precisamos das quantis qui-quadrado
e
.
Consultando a tabela da distribuição qui-quadrado (ou software), obtemos aproximadamente:
Consultando a tabela da distribuição qui-quadrado (ou software), obtemos aproximadamente:
Passo 5
Substituímos na fórmula do intervalo:
limite inferior:
limite inferior:
limite superior:
Note a ordem: o menor denominador gera o maior quociente, por isso o limite superior numérico fica maior. Para apresentar na ordem usual (limite inferior — limite superior) devemos colocar o menor valor primeiro. Observando os cálculos, o valor menor é aproximadamente
e o maior é aproximadamente
. Portanto o intervalo é
.
Passo 6
Interpretação rápida e dica para prova: com
de confiança, podemos afirmar que a variância verdadeira
está entre aproximadamente
e
(unidade: minutos ao quadrado). Em prova, mostre claramente: (i) a estatística qui-quadrado e graus de liberdade, (ii) os quantis usados (cite a tabela), (iii) substitua e calcule
e divida pelos quantis para obter os limites — assim você ganha pontos mesmo se arredondar os quantis.