Seja X uma variável aleatória com fdp dada por fX(x)=c x^2, para X=(-1,1). Pede-se:
Calcular P(X <= 1 / 2)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ com uma função densidade de probabilidade (fdp) dada por $ f_X(x) = c x^{2} $ no intervalo $ \mathcal{X} = (-1, 1) $. Queremos calcular a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ \frac{1}{2} $, ou seja, $ P\left(X \leq \frac{1}{2}\right) $. Para resolver isso, vamos precisar primeiro encontrar o valor da constante $ c $ que torna $ f_X(x) $ uma fdp válida e depois usar essa fdp para calcular a probabilidade solicitada.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a constante $ c $. Sabemos que, para que $ f_X(x) $ seja uma função densidade de probabilidade válida, a integral dela em todo o seu intervalo de definição deve ser igual a 1. Ou seja:
c
Substituindo $ f_X(x) = c x^{2} $:
fX(x)
Agora, vamos calcular a integral:
integral-1^1 fX(x) , dx = 1
fX(x) = c x^2
integral-1^1 c x^2 , dx = 1
c integral-1^1 x^2 , dx = 1
c [ x^33 ]-1^1 = 1
c ( 1^33 - (-1)^33 ) = 1
c ( 13 - (-13) ) = 1

Passo 3

Agora que encontramos $ c = \frac{3}{2} $, podemos calcular a probabilidade $ P\left(X \leq \frac{1}{2}\right) $. Isso significa que vamos integrar a fdp de $ -1 $ até $ \frac{1}{2} $:
c = 32
Substituindo $ f_X(x) = \frac{3}{2} x^{2} $:
P(X <= 12)
Calculando a integral:
-1
12
P(X <= 12) = integral-1^12 fX(x) , dx
fX(x) = 32 x^2
P(X <= 12) = 32 integral-1^12 x^2 , dx
32 [ x^33 ]-1^12 = 32 ( (12)^33 - (-1)^33 )
= 32 ( 183 - (-13) )

Resposta

A probabilidade $ P\left(X \leq \frac{1}{2}\right) $ é igual a $ \frac{9}{16} $.

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