Seja
uma variável aleatória com fdp dada por
, para
. Pede-se:
Calcular
Calcular
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ com uma função densidade de probabilidade (fdp) dada por $ f_X(x) = c x^{2} $ no intervalo $ \mathcal{X} = (-1, 1) $. Queremos calcular a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ \frac{1}{2} $, ou seja, $ P\left(X \leq \frac{1}{2}\right) $. Para resolver isso, vamos precisar primeiro encontrar o valor da constante $ c $ que torna $ f_X(x) $ uma fdp válida e depois usar essa fdp para calcular a probabilidade solicitada.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar a constante $ c $. Sabemos que, para que $ f_X(x) $ seja uma função densidade de probabilidade válida, a integral dela em todo o seu intervalo de definição deve ser igual a 1. Ou seja:
Substituindo $ f_X(x) = c x^{2} $:
Agora, vamos calcular a integral:
Passo 3
Agora que encontramos $ c = \frac{3}{2} $, podemos calcular a probabilidade $ P\left(X \leq \frac{1}{2}\right) $. Isso significa que vamos integrar a fdp de $ -1 $ até $ \frac{1}{2} $:
Substituindo $ f_X(x) = \frac{3}{2} x^{2} $:
Calculando a integral:
Resposta
A probabilidade $ P\left(X \leq \frac{1}{2}\right) $ é igual a $ \frac{9}{16} $.