Seja X uma variável aleatória com fdp dada por fX(x)=4 x^3 para X=(0,1). Obtenha:
E X e Var X

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma variável aleatória $ X $ com uma função densidade de probabilidade (fdp) dada por $ f_X(x) = 4x^3 $ para $ x $ no intervalo de 0 a 1. Nosso objetivo é encontrar a esperança matemática $ \mathrm{E}X $ e a variância $ \operatorname{Var} X $ dessa variável. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especificamente sobre funções densidade de probabilidade, expectativa e variância.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a esperança matemática $ \mathrm{E}X $. A esperança é basicamente o valor médio que esperamos obter da variável aleatória $ X $. Para calcular $ \mathrm{E}X $, usamos a seguinte fórmula:
EX
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 1 $, e $ f_X(x) = 4x^3 $. Então, substituindo na fórmula:
X

Passo 3

Agora, vamos simplificar a integral:
EX = integral0^1 4x^4 , dx
Integrar $ 4x^4 $ em relação a $ x $ é simples. A integral de $ x^n $ é $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $. Então,
4x^4

Passo 4

Com a esperança em mãos, vamos calcular a variância $ \operatorname{Var} X $. A variância nos dá uma ideia de quão dispersos os valores de $ X $ estão em relação à sua média $ \mathrm{E}X $. A fórmula para a variância é:
Var X
Primeiro, precisamos calcular $ \mathrm{E}[X^2] $:
X
Integrando:
EX
Agora, substituímos na fórmula da variância:
Var X = E[X^2] - (EX)^2

Passo 5

Vamos resolver essa subtração. Primeiro, deixamos as frações com o mesmo denominador, que é 75:
23 = 5075 e 1625 = 4875
Então,
Var X = 5075 - 4875 = 275

Resposta

Portanto, a esperança matemática de $ X $ é $ \mathrm{E}X = \frac{4}{5} $ e a variância de $ X $ é $ \operatorname{Var} X = \frac{2}{75} $.

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