Seja
uma variável aleatória com fdp dada por
para
. Obtenha:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma variável aleatória $ X $ com uma função densidade de probabilidade (fdp) dada por $ f_X(x) = 4x^3 $ para $ x $ no intervalo de 0 a 1. Nosso objetivo é encontrar a esperança matemática $ \mathrm{E}X $ e a variância $ \operatorname{Var} X $ dessa variável. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especificamente sobre funções densidade de probabilidade, expectativa e variância.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a esperança matemática $ \mathrm{E}X $. A esperança é basicamente o valor médio que esperamos obter da variável aleatória $ X $. Para calcular $ \mathrm{E}X $, usamos a seguinte fórmula:
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 1 $, e $ f_X(x) = 4x^3 $. Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a integral:
Integrar $ 4x^4 $ em relação a $ x $ é simples. A integral de $ x^n $ é $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $. Então,
Passo 4
Com a esperança em mãos, vamos calcular a variância $ \operatorname{Var} X $. A variância nos dá uma ideia de quão dispersos os valores de $ X $ estão em relação à sua média $ \mathrm{E}X $. A fórmula para a variância é:
Primeiro, precisamos calcular $ \mathrm{E}[X^2] $:
Integrando:
Agora, substituímos na fórmula da variância:
Passo 5
Vamos resolver essa subtração. Primeiro, deixamos as frações com o mesmo denominador, que é 75:
Então,
Resposta
Portanto, a esperança matemática de $ X $ é $ \mathrm{E}X = \frac{4}{5} $ e a variância de $ X $ é $ \operatorname{Var} X = \frac{2}{75} $.