A vida (em horas) de um determinado transistor de televisão é uma variável aleatória contínua
, cuja função densidade é:
Se um determinado transistor ainda funciona após 300 horas. Qual a probabilidade de que esse transistor dure no máximo 400 horas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um transistor de televisão cuja vida útil, em horas, segue uma distribuição contínua com a função densidade dada por:
O problema pergunta: Sabendo que o transistor ainda está funcionando após 300 horas, qual a probabilidade de que ele dure no máximo 400 horas? Ou seja, queremos encontrar $ P(300 < X \leq 400 \mid X > 300) $.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que isso é uma probabilidade condicional. A fórmula para probabilidade condicional é:
No nosso caso, $ A $ é o evento $ 300 < X \leq 400 $ e $ B $ é o evento $ X > 300 $. Como $ A $ já está dentro de $ B $, $ P(A \cap B) = P(A) $. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ P(300 < X \leq 400) $ e $ P(X > 300) $. Para isso, usamos a função de densidade de probabilidade $ f(x) $. A probabilidade de $ X $ estar entre $ a $ e $ b $ é a integral de $ f(x) $ de $ a $ a $ b $:
Passo 4
Vamos calcular $ P(300 < X \leq 400) $:
A antiderivada de $ \frac{1}{x^{2}} $ é $ -\frac{1}{x} $, então:
Calculando de 300 a 400:
Então, $ P(300 < X \leq 400) = 0.125 $.
Passo 5
Agora, vamos calcular $ P(X > 300) $:
Integrando:
Calculando de 300 ao infinito:
Então, $ P(X > 300) = 0.5 $.
Passo 6
Agora, voltando à probabilidade condicional:
Resposta
A probabilidade de que o transistor dure no máximo 400 horas, dado que ainda está funcionando após 300 horas, é de 25%.