A vida (em horas) de um determinado transistor de televisão é uma variável aleatória contínua X, cuja função densidade é:
f(x)=ll 150x^2, & se x>150 0, & Caso Contrário á
Se um determinado transistor ainda funciona após 300 horas. Qual a probabilidade de que esse transistor dure no máximo 400 horas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um transistor de televisão cuja vida útil, em horas, segue uma distribuição contínua com a função densidade dada por:
f(x)=ll 150x^2, & se x > 150 0, & caso contrário á
O problema pergunta: Sabendo que o transistor ainda está funcionando após 300 horas, qual a probabilidade de que ele dure no máximo 400 horas? Ou seja, queremos encontrar $ P(300 < X \leq 400 \mid X > 300) $.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que isso é uma probabilidade condicional. A fórmula para probabilidade condicional é:
P(A mid B) = P(A cap B)P(B)
No nosso caso, $ A $ é o evento $ 300 < X \leq 400 $ e $ B $ é o evento $ X > 300 $. Como $ A $ já está dentro de $ B $, $ P(A \cap B) = P(A) $. Então, temos:
A

Passo 3

Agora, vamos calcular $ P(300 < X \leq 400) $ e $ P(X > 300) $. Para isso, usamos a função de densidade de probabilidade $ f(x) $. A probabilidade de $ X $ estar entre $ a $ e $ b $ é a integral de $ f(x) $ de $ a $ a $ b $:
P(300 < X <= 400)

Passo 4

Vamos calcular $ P(300 < X \leq 400) $:
P(300 < X <= 400)
A antiderivada de $ \frac{1}{x^{2}} $ é $ -\frac{1}{x} $, então:
P(300 < X <= 400) = integral300^400 150x^2 , dx
Calculando de 300 a 400:
1x^2
Então, $ P(300 < X \leq 400) = 0.125 $.

Passo 5

Agora, vamos calcular $ P(X > 300) $:
P(X > 300)
Integrando:
P(X > 300) = integral300^infty 150x^2 , dx
Calculando de 300 ao infinito:
integral 150x^2 , dx = -150x + C
Então, $ P(X > 300) = 0.5 $.

Passo 6

Agora, voltando à probabilidade condicional:
P(300 < X <= 400 mid X > 300) = 0.1250.5 = 0.25

Resposta

A probabilidade de que o transistor dure no máximo 400 horas, dado que ainda está funcionando após 300 horas, é de 25%.

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