Seja X uma variável aleatória com função densidade
f(x)=ll 12, & se -1 <= x<0 1-x, & se 0 <= x <= 1 0, & Caso Contrário á
Determine a funçāo densidade de probabilidade de
Y=|X|
Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma variável aleatória X com densidade
fX(x)= tfrac12, & -1<= x<0, 1-x, & 0<= x<=1, 0, & caso contrário, á
e define Y = |X|. O objetivo é achar a densidade de Y.
Matéria: transformação de variáveis aleatórias (uso de CDF ou mudança de variável).
O que vamos usar:
  • A definição de CDF de Y, .
  • Integrar a densidade de X no intervalo que corresponde a .
  • Derivar essa CDF pra obter a densidade .

Passo 2

Calcular P(|X|<= y) = P(-y<= X<= y) = integral-y^y fX(x),dx .
  1. Se integral-y^0!tfrac12,dx ;+;integral0^y(1-x),dx , obviamente FY(y)= y2 + l(y - tfracy^22r) = y2 + y - y^22 = 3y2 - y^22, 0<= y<=1 .
  2. Se , então
Como muda em 0, dividimos a integral:
Agora calculamos cada pedacinho:

  • Somando:
  1. Se , então é certo (porque X está em ), logo .

Passo 3

Agora a densidade fY(y)=ddy!l(tfrac3y2-tfracy^22r) = 32 - y é a derivada de nos pontos em que ela é diferenciável.
Para :
Para ou , a CDF é constante (0 ou 1), então a densidade é zero.

Resposta

A densidade de fY(y)= tfrac32-y, & 0 é
á

Exercícios relacionados