Um sistema apresenta 5 solicitações ativas e uma utilização de 0,6. Qual o tamanho médio da fila de espera das solicitações nesse sistema?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Um sistema tem 5 solicitações ativas e uma utilização de 0,6. Qual é o tamanho médio da fila de espera?”
Conteúdo: teoria de filas M/M/c (fila com chegadas Poisson, serviço exponencial e c servidores).
O que vamos precisar:
  1. Entender que “5 solicitações ativas” significa que há c = 5 servidores.
  2. A utilização ρ do sistema é dada por ρ = λ/(cμ) = 0,6.
  3. Usar a fórmula de Erlang C para encontrar L_q, o número médio na fila.

Passo 2

Modelo M/M/5:
  • Chegadas: taxa λ (Poisson)
  • Serviço: taxa μ (exponencial)
  • Servidores: c = 5
  • Utilização: ρ = λ/(cμ) = 0,6 ⇒ λ/μ = a = c·ρ
Aqui definimos o tráfego oferecido

Passo 3

Calcular pi0 ;=; gl[ sumn=0^c-1 a^nn! ;+; a^cc!,11-rho gr]^!-1 , a probabilidade de não haver ninguém no sistema (fórmula M/M/c):
sumn=0^4 3^nn! =1 + 3 + tfrac3^22! + tfrac3^33! + tfrac3^44! =1 + 3 + 4.5 + 4.5 + 3.375 = 16.375,
Substituindo c=5, a=3 e ρ=0.6:
3^55!,11-0.6 =243120times 10.4 =2.025times 2.5 =5.0625
pi0 = 116.375 + 5.0625 = 121.4375 approx 0.04663
Logo,

Passo 4

Calcular a probabilidade de formação de fila, P(wait), pelo fator de Erlang C:
P(wait) = a^cc!,11-rho% sumn=0^c-1a^nn! ;+; a^cc!,11-rho =5.062521.4375 approx 0.23623

Passo 5

A fórmula do tamanho médio da fila L_q em M/M/c é
Lq = P(wait);rho1-rho
Substituindo P(wait)≈0.23623 e ρ=0.6:
Lq = 0.23623 times 0.60.4 = 0.23623 times 1.5 approx 0.3543

Resposta

O tamanho médio da fila de espera é aproximadamente
boxedLq approx 0,35 solicitações çõ

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