Seja X uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
F(x)= 0 & se x<0 1-e^-x & se x >= 0
determine as seguintes probabilidades:
P(X=t), t in R;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que X é uma v.a. com função de distribuição acumulada
F(x)= 0, & x<0, 1-e^-x, & x>=0
O assunto aqui é “variável contínua e CDF” e o que a gente precisa usar é a relação entre CDF e probabilidade pontual:
Para qualquer P(X=t)=F(t)-limxto t^-F(x) ,

Passo 2

Vamos aplicar a fórmula
P(X=t)=F(t)-F(t^-)
  1. Primeiro, a gente define .
  2. Depois, compara e nos dois casos (antes e depois de 0).

Passo 3

Caso 1: P(X=t)=0-0=0
  • P(X=t)=l(1-e^-tr)-l(1-e^-tr)=0
  • Para , também vale , logo .
    Então
Caso 2:
  • .
  • Como é contínua em , também.
    Logo
Em ambos os casos não aparece salto na CDF, o que faz sentido porque X é contínua (distribuição exponencial).

Resposta

boxedP(X=t)=0,;forall,tinR

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