Para cada um dos modelos abaixo determinar a f.g.m,
e
.
©
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente, para a variável aleatória
que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
, determine:
- A função geradora de momentos (fgm), que é
. - A esperança
. - A variância
.
Conteúdo que vamos usar:
- Definição da fgm para variáveis discretas:
- Série da Poisson:
. - Propriedades de derivação da fgm:
Passo 2
Vamos achar a fgm de Poisson:
Mas a gente reconhece a série de
. Então, com
,
Logo
Passo 3
Agora a esperança
. A gente lembra que
Então vamos derivar
:
Avalia em
:
Logo
.
Passo 4
Para a variância, usamos
Primeiro achamos
. Partindo de
derivamos de novo (produto e cadeia):
Mas fica mais fácil lembrar que no fim vai dar
Avalia em
:
Então
Resposta
- Função geradora de momentos:
- Esperança:
.
- Variância: .
- Variância: