Para cada um dos modelos abaixo determinar a f.g.m, E(X) e VAR(X).
© X sim Poisson(lambda)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente, para a variável aleatória MX(t) ;=; sumk=0^infty e^t k,P(X=k) que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro E(X)=M'X(0), Var(X)=M''X(0)-l(M'X(0)r)^2 , determine:
  • A função geradora de momentos (fgm), que é .
  • A esperança .
  • A variância .
Conteúdo que vamos usar:
  1. Definição da fgm para variáveis discretas:
  2. Série da Poisson: .
  3. Propriedades de derivação da fgm:

Passo 2

Vamos achar a fgm de Poisson:
MX(t) = sumk=0^infty e^t k,P(X=k) = sumk=0^infty e^t k,e^-lambda,lambda^kk! = e^-lambdasumk=0^infty(lambda e^t)^kk!
Mas a gente reconhece a série de sumk=0^infty(lambda e^t)^kk! = e^lambda e^t . Então, com MX(t) = e^-lambda,e^lambda e^t = expl(lambda(e^t-1)r) ,
Logo

Passo 3

Agora a esperança E(X)=M'X(0) . A gente lembra que
M'X(t) = expl(lambda(e^t-1)r)timesddtl[lambda(e^t-1)r] = expl(lambda(e^t-1)r)timeslambda e^t
Então vamos derivar M'X(0) = expl(lambda(e^0-1)r)timeslambda e^0 = e^lambda(1-1)timeslambda = lambda :
Avalia em :
Logo .

Passo 4

Para a variância, usamos
Var(X)=M''X(0)-[M'X(0)]^2
Primeiro achamos M'X(t)=lambda e^texpl(lambda(e^t-1)r), . Partindo de
M''X(t) = ddt[lambda e^t]exp[dots] + lambda e^tddtexp[dots]
derivamos de novo (produto e cadeia):
M''X(t) = l(lambda e^t + lambda^2 e^2tr)expl(lambda(e^t-1)r)
Mas fica mais fácil lembrar que no fim vai dar
M''X(0) = (lambda + lambda^2),e^lambda(1-1) = lambda + lambda^2
Avalia em Var(X) = M''X(0)-[M'X(0)]^2 = (lambda+lambda^2)-lambda^2 = lambda :
Então

Resposta

- Função geradora de momentos:
MX(t)=expl(lambda(e^t-1)r)
- Esperança: .
- Variância: .

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