Sejam X e Y duas V.A.s independentes tendo distribuição geométrica com parâmetros p1 e p2 respectivamente.
Obtenha:
(b) P(X=Y)

Passo 1

Beleza, o problema diz que temos duas variáveis aleatórias independentes, e , cada uma com distribuição geométrica – com parâmetro e com parâmetro . A gente precisa achar a probabilidade de que elas batam, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar:
  • A definição da função massa de probabilidade (PMF) da geométrica.
  • O fato de que, sendo independentes, .
  • A soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, lembra como é a PMF da geométrica «de contagem de tentativas até o primeiro sucesso»:
P(X=k) = (1 - p1)^,k-1,p1, P(Y=k) = (1 - p2)^,k-1,p2,
para P(X=k, Y=k) = P(X=k),P(Y=k) = l((1 - p1)^k-1 p1r), l((1 - p2)^k-1 p2r) .
E como e são independentes, a probabilidade conjunta de ambos valerem é:

Passo 3

Agora, para achar P(X=Y) = sumk=1^infty P(X=k, Y=k) = sumk=1^infty (1 - p1)^k-1,p1,(1 - p2)^k-1,p2 , a gente soma essa probabilidade conjunta em todos os possíveis:

Passo 4

Vamos reorganizar a soma:
P(X=Y) = p1p2,sumk=1^infty l[(1 - p1)(1 - p2)r]^,k-1
Aqui aparece uma série geométrica padrão:
sumk=0^infty r^k = 11 - r, desde que |r|<1
No nosso caso, , e de fato porque .

Passo 5

Aplicando a fórmula da série geométrica:
sumk=1^infty r^k-1 = sumj=0^infty r^j = 11 - r = 11 - (1-p1)(1-p2)
Logo,
P(X=Y) = p1p2,11 - (1-p1)(1-p2)

Resposta

boxedP(X=Y) ;=; p1,p21 ;-;(1-p1)(1-p2)

Exercícios relacionados