Sejam
e
duas V.A.s independentes tendo distribuição geométrica com parâmetros
e
respectivamente.
Obtenha:
(b)
Obtenha:
(b)
Passo 1
Beleza, o problema diz que temos duas variáveis aleatórias independentes,
e
, cada uma com distribuição geométrica –
com parâmetro
e
com parâmetro
. A gente precisa achar a probabilidade de que elas batam, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar:
- A definição da função massa de probabilidade (PMF) da geométrica.
- O fato de que, sendo independentes,
. - A soma de uma série geométrica infinita.
Passo 2
Primeiro, lembra como é a PMF da geométrica «de contagem de tentativas até o primeiro sucesso»:
para
.
E como e
são independentes, a probabilidade conjunta de ambos valerem
é:
E como
Passo 3
Agora, para achar
, a gente soma essa probabilidade conjunta em todos os
possíveis:
Passo 4
Vamos reorganizar a soma:
Aqui aparece uma série geométrica padrão:
No nosso caso,
, e de fato
porque
.
Passo 5
Aplicando a fórmula da série geométrica:
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