Seja X uma variável aleatória uniforme no intervalo [2,5]. Calcule:
Passo 1
O enunciado dá que
é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo
. A pergunta é calcular
Informações relevantes: o intervalo da uniformidade é
e o ponto limite é
.
Passo 2
O que significa “variável aleatória uniforme” no intervalo
Aqui
são os extremos do intervalo, e
é escolhida para que a probabilidade total seja
(porque a integral da densidade sobre todo o suporte deve ser
).]
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: temos
e
. Logo a densidade de
é
e
fora desse intervalo. Aqui a interpretação: cada pedaço de comprimento
dentro de
carrega probabilidade
.
Passo 4
Para calcular
usamos a definição de probabilidade para variável contínua: integrar a densidade sobre a região favorável. Como
está dentro de
, temos
Substituindo
obtemos
Passo 5
Calcule a integral (é fácil porque integrando uma constante):
Agora simplificamos:
então
Passo 6
Interpretação geométrica (jeito rápido na prova): a probabilidade é razão entre o comprimento do intervalo favorável e o comprimento total do suporte. O comprimento favorável é
e o comprimento total é
. Então a probabilidade é
. Observação útil: para variáveis contínuas a probabilidade de um ponto exato é zero, então
.