Seja X uma variável aleatória uniforme no intervalo [2,5]. Calcule:
\quad \mathrm{P}(\mathrm{X}>4,5)

Passo 1

O enunciado dá que X é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2,5]. A pergunta é calcular
P(X>4,5).
Informações relevantes: o intervalo da uniformidade é [2,5] e o ponto limite é 4,5.

Passo 2

O que significa “variável aleatória uniforme” no intervalo [a,b]\)? Vou explicar passo a passo, como se estivéssemos no quadro juntos: - Uma variável contínua \(X\) é uniforme em \([a,b]\) quando todas as partes do intervalo têm a mesma "densidade de probabilidade". Isso quer dizer que a função densidade de probabilidade \(f_X(x)\) é constante para \(x\) em \([a,b]\) e zero fora. - A fórmula da densidade é \[f_X(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{b-a}, & x\in[a,b],\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Aqui a\] e \(b são os extremos do intervalo, e \frac{1}{b-a} é escolhida para que a probabilidade total seja 1 (porque a integral da densidade sobre todo o suporte deve ser 1).]

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: temos a=2 e b=5. Logo a densidade de X é
f_X(x)=\frac{1}{5-2}=\frac{1}{3}\quad\text{para }x\in[2,5],
e f_X(x)=0 fora desse intervalo. Aqui a interpretação: cada pedaço de comprimento 1 dentro de [2,5] carrega probabilidade 1/3.

Passo 4

Para calcular P(X>4,5) usamos a definição de probabilidade para variável contínua: integrar a densidade sobre a região favorável. Como 4,5 está dentro de [2,5], temos
P(X>4,5)=\int_{4,5}^{5} f_X(x)\,dx.
Substituindo f_X(x)=\tfrac{1}{3} obtemos
P(X>4,5)=\int_{4,5}^{5}\frac{1}{3}\,dx.

Passo 5

Calcule a integral (é fácil porque integrando uma constante):
\int_{4,5}^{5}\frac{1}{3}\,dx=\frac{1}{3}\bigl[ x \bigr]_{4,5}^{5}=\frac{1}{3}\,(5-4,5).
Agora simplificamos:
5-4,5=0,5,
então
P(X>4,5)=\frac{1}{3}\cdot 0,5=\frac{0,5}{3}=\frac{1}{6}.

Passo 6

Interpretação geométrica (jeito rápido na prova): a probabilidade é razão entre o comprimento do intervalo favorável e o comprimento total do suporte. O comprimento favorável é 5-4,5=0,5 e o comprimento total é 5-2=3. Então a probabilidade é \dfrac{0,5}{3}=\dfrac{1}{6}. Observação útil: para variáveis contínuas a probabilidade de um ponto exato é zero, então P(X>4,5)=P(X\ge 4,5).

Resposta

\dfrac{1}{6}

Exercícios relacionados