A vida útil de um determinado componente eletrônico segue uma distribuição normal com média de 5000 horas e desvio padrão de 500 horas.
Se a empresa deseja oferecer uma garantia de 4800 horas, qual a porcentagem de componentes que precisarão ser substituídos dentro do período de garantia?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Vida útil do componente é normalmente distribuída com média \mu=5000 horas e desvio padrão \sigma=500 horas.
  • A empresa oferece garantia de 4800 horas.
    O que o enunciado pede: determinar a porcentagem dos componentes que precisarão ser substituídos dentro do período de garantia, isto é, calcular a probabilidade de que a vida útil seja menor ou igual a 4800 horas, ou seja \Pr(X\le 4800).

Passo 2

Vamos entender o que significa trabalhar com uma variável normalmente distribuída. Se X é a vida útil, escrevemos \,X\sim N(\mu,\sigma^2)\,, aqui \mu é a média (valor central esperado) e \sigma é o desvio padrão (medida de dispersão). O que queremos é a área da curva normal até x=4800, isto é \Pr(X\le 4800). Para calcular essa probabilidade usamos a padronização para transformar X numa variável padrão Z com média 0 e desvio 1, porque tabelas e calculadoras fornecem as probabilidades para essa Z.

Passo 3

A fórmula de padronização é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aplicando para X=4800, \mu=5000 e \sigma=500:
Z=\frac{4800-5000}{500}=\frac{-200}{500}=-0{,}4.
Interpretação: X\le 4800 equivale a Z\le -0{,}4.

Passo 4

Agora usamos a distribuição normal padrão. Chamamos \Phi(z)=\Pr(Z\le z) a função de distribuição acumulada da normal padrão. Assim
\Pr(X\le 4800)=\Pr\big(Z\le -0{,}4\big)=\Phi(-0{,}4).
Como a distribuição padrão é simétrica em torno de zero, vale a relação
\Phi(-z)=1-\Phi(z).
Logo
\Phi(-0{,}4)=1-\Phi(0{,}4).
Consultando uma tabela Z ou uma calculadora, temos \Phi(0{,}4)\approx 0{,}6554. Portanto
\Phi(-0{,}4)=1-0{,}6554=0{,}3446.

Passo 5

Convertendo a probabilidade em porcentagem: 0{,}3446 corresponde a 34{,}46\%. Ou seja, cerca de 34{,}46\% dos componentes deverão ser substituídos dentro do período de garantia. Dá um suspiro — é uma fração significativa, então faz sentido a empresa avaliar custos de garantia.

Resposta

34{,}46\%

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