Seja X uma variável aleatória (v.a.) contínua com função densidade de probabilidade definida por:
f(x)=ll a x, & 0 <= x <= 1 a, & 1<x <= 2 -a x+3 a, & 2<x <= 3
Considere que fora dos intervalos definidos a função é nula.
a) Determine o valor da constante a.
b) Determine P(1<x <= 3).
c) Determine o valor esperado e a variância da v.a.

Passo 1

O enunciado define uma v.a. contínua X com densidade a pedaços em três intervalos ligados por uma constante a. Vamos usar a condição de normalização (integral da densidade igual a 1) para achar a, depois calcular P(1<x<=3) por integração nos intervalos correspondentes e, por fim, obter o valor esperado e a variância usando as fórmulas
E[X]=integral-infty^infty x,f(x),dx,
Var(X)=El[X^2r]-l(E[X]r)^2

Passo 2

Para determinar a usamos
integral0^1 a,x,dx+integral1^2 a,dx+integral2^3l(-a,x+3ar)dx=1
Calculando cada parte:
integral0^1 a,x,dx = ax^22|0^1 =a2,
integral1^2 a,dx = a,(2-1) = a,
integral2^3l(-a,x+3ar)dx = -ax^22|2^3 +3a,(3-2) = -a9-42+3a = -5a2+3a =a2
Somando,
a2+a+a2=2a=1 Longrightarrow a=tfrac12

Passo 3

Para P(1<x<=3) integramos em 1<x<=2 e em 2<x<=3:
P(1<x<=3) =integral1^2 a,dx+integral2^3l(-a,x+3ar)dx = a,(2-1)+a2 = a+a2 =32,a =32cdot12 =34

Passo 4

Para calcular E[X] usamos
E[X] =integral0^1 x,(a,x),dx +integral1^2 x,(a),dx +integral2^3 x,l(-a,x+3ar)dx
Cada termo:
integral0^1 a,x^2,dx =ax^33|0^1 =a3, integral1^2 a,x,dx =ax^22|1^2 =3a2,
integral2^3 x,l(-a,x+3ar)dx =-aintegral2^3 x^2dx+3aintegral2^3 x,dx =-a27-83+3a9-42 =-19a3+15a2 =7a6
Somando,
E[X] =a3+3a2+7a6 =3a =3cdot12 =32

Passo 5

Para a variância precisamos de E[X^2]:
E[X^2] =integral0^1 x^2,(a,x),dx +integral1^2 x^2,(a),dx +integral2^3 x^2l(-a,x+3ar)dx
Calculando,
integral0^1 a,x^3,dx =a4, integral1^2 a,x^2,dx =a8-13 =7a3,
integral2^3 x^2l(-a,x+3ar)dx =-aintegral2^3 x^3dx+3aintegral2^3 x^2dx =-a81-164+3a27-83 =-65a4+19a =11a4
Logo,
E[X^2] =a4+7a3+11a4 =16a3 =163cdot12 =83
E assim
Var(X) =E[X^2]-(E[X])^2 =83-l(32r)^2 =83-94 =32-2712 =512

Resposta

a) a=tfrac12
b) P(1<x<=3)=tfrac34
c) E[X]=tfrac32 e Var(X)=tfrac512

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