Seja X uma variável aleatória (v.a.) contínua com função densidade de probabilidade definida por:
f(x)=cc 2 k x, & 0 <= x<3 k x, & 3 <= x<5
Considere que fora dos intervalos definidos a função é nula.
a) Determine o valor da constante k .
b) Determine P(1<x<4).
c) Determine o valor esperado e a variância da v.a.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade de uma v.a. contínua
Precisamos aplicar a condição de normalização , em seguida calcular por integração, e por fim obter o valor esperado e a variância a partir dos momentos.

Passo 2

Usamos a normalização da densidade:
integral0^32k,x,dx ;+;integral3^5k,x,dx ;=;1
Calculemos cada integral:
integral0^32k,x,dx =2kcdotx^22|0^3 =kcdot 3^2 =9k,
integral3^5k,x,dx =kcdotx^22|3^5 =tfrack2,(25-9) =8k
Somando, 9k+8k=17k=1, logo
k=117

Passo 3

Para P(1<X<4) separemos nos intervalos [1,3) e [3,4):
integral1^32k,x,dx +k,integral3^4x,dx
Calculando com k=1/17:
integral1^32k,x,dx =k,(3^2-1^2) =8k,
integral3^4k,x,dx =kcdotx^22|3^4 =72k
Então
P(1<X<4) =l(8+tfrac72r)k =232,k =2334

Passo 4

O valor esperado é
E[X] =integral0^3x,(2k,x),dx +integral3^5x,(k,x),dx =integral0^32k,x^2,dx +integral3^5k,x^2,dx
Calculando:
integral0^32k,x^2,dx =2kcdotx^33|0^3 =2kcdot273 =18k,
integral3^5k,x^2,dx =kcdotx^33|3^5 =k3,(125-27) =983,k
Somando,
E[X] =l(18+tfrac983r)k =1523,k =15251

Passo 5

Para a variância precisamos de E[X^2]:
E[X^2] =integral0^3x^2(2k,x),dx +integral3^5x^2(k,x),dx =integral0^32k,x^3,dx +integral3^5k,x^3,dx
Calculando:
integral0^32k,x^3,dx =2kcdotx^44|0^3 =812,k,
integral3^5k,x^3,dx =kcdotx^44|3^5 =625-814,k =136k
Logo
E[X^2] =l(812+136r)k =3532,k =35334
A variância é
Var(X) =E[X^2]-l(E[X]r)^2 =35334-l(15251r)^2 =78015202approx1,50

Resposta

(a) k = tfrac117
(b) P(1<X<4) = tfrac2334
(c) E[X]=tfrac15251, Var(X)=tfrac78015202approx1,50

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