Seja A=(x, y) in R^2 mid 0<raizx^2+y^2+2 y+1<1. Verificar se os pontos
(-1,-1) são pontos de acumulação de A.

Passo 1

O enunciado define
A = (x,y)inR^2 mid 0 < raizx^2 + y^2 + 2y + 1 < 1
e pede para verificar se (-1,-1) é ponto de acumulação de A. Para isso vamos usar a definição: um ponto (x0,y0) é de acumulação se, para todo varepsilon>0, existe (x,y)in A, (x,y)neq(x0,y0), tal que
raiz(x-x0)^2+(y-y0)^2 < varepsilon

Passo 2

Reescrevemos a condição interna de A. Note que
x^2 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + (y+1)^2,
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A = (x,y)mid 0<raizx^2+(y+1)^2<1
Isto é, A é a bola aberta de raio 1 centrada em (0,-1), com o ponto central excluído.

Passo 3

Calculamos a distância de (-1,-1) ao centro (0,-1):
raiz(-1-0)^2+(-1+1)^2 = raiz1+0 = 1
Portanto (-1,-1) está na fronteira da bola de raio 1.

Passo 4

Para mostrar acumulação, seja varepsilon>0. Escolhemos, por exemplo, o ponto
(x,y) = l(-1 + tfracvarepsilon2,, -1r)
Então
raiz(x+1)^2+(y+1)^2 = raizl(tfracvarepsilon2r)^2+0^2 = tfracvarepsilon2 < varepsilon,
e a distância ao centro (0,-1) é
raizl(-1+tfracvarepsilon2r)^2+0^2 = 1 - tfracvarepsilon2,
que fica estritamente entre 0 e 1 quando varepsilon é pequeno. Logo (x,y)in A e (x,y)neq(-1,-1) e está dentro de qualquer Bvarepsilon((-1,-1)). Assim (-1,-1) é ponto de acumulação de A.

Resposta

O ponto (-1,-1) é ponto de acumulação de A.

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