Seja (
) Vetor Aleatório Discreto. Mostre que:
e
são independentes
.
Passo 1
Beleza, o enunciado quer que a gente mostre que “X e Y são independentes” é a mesma coisa que “
” para todo par
.
Conteúdo: Probabilidade condicional e independência de variáveis aleatórias discretas.
O que precisamos:
Conteúdo: Probabilidade condicional e independência de variáveis aleatórias discretas.
O que precisamos:
- Definição de probabilidade condicional:
- Definição de independência:
Passo 2
Provar que “
” implica “
”.
- Partimos da definição de independência:
- Agora usamos a definição de probabilidade condicional:
- Como
não é zero (senão não teria sentido), podemos simplificar:
Pronto, mostramos uma direção!
Passo 3
Agora a outra: provar que “
” implica “
”.
- Partimos da hipótese:
- De novo, usamos a definição de condicional:
Logo - Multiplicando ambos os lados por
: - Mas isso é exatamente a definição de independência de
e !
Resposta
Portanto, mostramos as duas implicações e concluímos que