Seja ( X, Y ) Vetor Aleatório Discreto. Mostre que:
X e Y são independentes Leftrightarrow p(xi mid yj)=p(xi), forall(i, j).

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente mostre que “X e Y são independentes” é a mesma coisa que “ p(ximid yj) = p(xi,yj)p(yj), se p(yj)>0 ” para todo par Xperp YLong<=ftrightarrow p(xi,yj)=p(xi),p(yj),;forall i,j .
Conteúdo: Probabilidade condicional e independência de variáveis aleatórias discretas.
O que precisamos:
  • Definição de probabilidade condicional:
  • Definição de independência:

Passo 2

Provar que “ p(xi,yj)=p(xi),p(yj) ” implica “ p(ximid yj) = p(xi,yj)p(yj) = p(xi),p(yj)p(yj) ”.
  1. Partimos da definição de independência: p(ximid yj)=p(xi)
  2. Agora usamos a definição de probabilidade condicional:
  3. Como não é zero (senão não teria sentido), podemos simplificar:
Pronto, mostramos uma direção!

Passo 3

Agora a outra: provar que “ p(ximid yj)=p(xi), forall i,j ” implica “ p(ximid yj) = p(xi,yj)p(yj) ”.
  1. Partimos da hipótese: p(xi,yj)p(yj) = p(xi)
  2. De novo, usamos a definição de condicional: p(xi,yj) = p(xi),p(yj) Logo
  3. Multiplicando ambos os lados por :
  4. Mas isso é exatamente a definição de independência de e !

Resposta

Portanto, mostramos as duas implicações e concluímos que
Xperp Y Long<=ftrightarrow p(ximid yj)=p(xi),;forall i,j

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