Seja ( X, Y, Z ) vetor aleatório tendo distribuição uniforme no parabolóide
P=(x, y, z): 0<z<2 ; z>x^2+y^2
Usando a transformação x=r cos theta, y=r sen theta,
(a) obtenha o valor da densidade em P;
(b) determine P(Z<1);
(c) determine P(X^2+Y^2<1).

Passo 1

O enunciado diz que (X,Y,Z) é uniforme sobre o parabolóide
P = (x,y,z)mid 0<z<2,;z>x^2+y^2
e pede:
(a) a densidade em P;
(b) P(Z<1);
(c) P(X^2+Y^2<1).
Para tudo: usamos coordenadas cilíndricas
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde o jacobiano é r. A densidade é constante em P e vale 1/Vol(P).

Passo 2

Calculamos o volume de P em coordenadas cilíndricas:
Vol(P) = integraltheta=0^2pi!integralz=0^2!integralr=0^raizz r,dr,dz,dtheta = 2pi integral0^2l[tfrac12 zr],dz = pi integral0^2 z,dz = picdot2^22 = 2pi

Passo 3

Como é uniforme, a densidade vale
fX,Y,Z(x,y,z) = 1Vol(P) = 12pi,
para (x,y,z)in P, e zero fora.

Passo 4

Para P(Z<1), integramos a parte de P com 0<z<1:
P(Z<1) = 12pi integraltheta=0^2pi!integralz=0^1!integralr=0^raizz r,dr,dz,dtheta = 12pi,2pi integral0^1!tfrac12 z,dz = integral0^1z2,dz = 12cdot12 = 14

Passo 5

Para P(X^2+Y^2<1), o domínio é 0<= r<1,;r^2<z<2, então
P(X^2+Y^2<1) = 12pi integraltheta=0^2pi!integralr=0^1!integralz=r^2^2 r,dz,dr,dtheta = 12pi,2pi integral0^1 (2 - r^2),r,dr = integral0^1(2r - r^3),dr = l[r^2 - tfracr^44r]0^1 = 1 - tfrac14 = tfrac34

Resposta

(a) fX,Y,Z(x,y,z)=dfrac12pi em P, zero fora.
(b) tfrac14.
(c) tfrac34.

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