Seja (
) vetor aleatório tendo distribuição uniforme no parabolóide
Usando a transformação
,
(a) obtenha o valor da densidade em
;
(b) determine
;
(c) determine
.
(a) obtenha o valor da densidade em
(b) determine
(c) determine
Passo 1
O enunciado diz que
é uniforme sobre o parabolóide
e pede:
(a) a densidade em ;
(b) ;
(c) .
Para tudo: usamos coordenadas cilíndricas
(a) a densidade em
(b)
(c)
Para tudo: usamos coordenadas cilíndricas
onde o jacobiano é
. A densidade é constante em
e vale
.
Passo 2
Calculamos o volume de
em coordenadas cilíndricas:
Passo 3
Como é uniforme, a densidade vale
para
, e zero fora.
Passo 4
Para
, integramos a parte de
com
:
Passo 5
Para
, o domínio é
, então
Resposta
(a)
em
, zero fora.
(b) .
(c) .
(b)
(c)