Suponha que o vetor aleatório ( X, Y ) tenha densidade conjunta no R^2 dada por
f(x, y)=12 pi exp -12(x^2+y^2)
Seja Z=X^2+Y^2.
(a) Verifique que X e Y têm distribuição comum N(0,1).
(b) Usando a transformação x=r cos theta, y=r sen theta, determine P(Z<z) para cada z>0.
(c) Verifique que Z tem distribuição exponencial. Qual o parâmetro?

Passo 1

O enunciado dá o vetor aleatório (X,Y) com densidade conjunta
f(x,y)=12piexpl-tfrac12(x^2+y^2)r
e define Z=X^2+Y^2. Pede:
  1. Mostrar que X e Y são N(0,1).
  2. Calcular P(Z<z) usando a transformação polar x=rcostheta, y=rsentheta.
  3. Identificar a distribuição de Z e seu parâmetro.

Passo 2

Para obter a densidade marginal de X integramos em y:
fX(x)=integral-infty^inftyf(x,y),dy =12pie^-x^2/2integral-infty^inftye^-y^2/2dy =1raiz2pie^-x^2/2
Logo Xsim N(0,1). Por simetria a mesma conta vale para Y, e como a densidade conjunta se fatoriza em marginais, X e Y são independentes.

Passo 3

Fazemos a mudança para coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsentheta, J=r
Em (r,theta) a densidade vira
fR,Theta(r,theta) =fl(rcostheta,rsenthetar),r =12pie^-r^2/2,r,
com r>=0, thetain[0,2pi).

Passo 4

Temos Z=R^2, então para z>0:
P(Z<z)=P(R<raiz z) =integral0^2pi!integral0^raiz z12pie^-r^2/2,r,dr,dtheta
Integrando em theta dá fator 2pi que cancela, restando
integral0^raiz zr,e^-r^2/2dr =l[-e^-r^2/2r]0^raiz z =1-e^-z/2
Portanto
P(Z<z)=1-e^-z/2

Passo 5

Como a função de distribuição de Z é
FZ(z)=1-e^-z/2,
vemos que Z segue distribuição exponencial com parâmetro lambda=tfrac12 (isto é, densidade fZ(z)=tfrac12e^-z/2, z>=0).

Resposta

(a) X e Y são independentes e cada um tem distribuição N(0,1).
(b) Para z>0, P(Z<z)=1-e^-z/2
(c) ZsimExp(lambda=tfrac12).

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