Suponha que o vetor aleatório (
) tenha densidade conjunta no
dada por
Seja
.
(a) Verifique que
e
têm distribuição comum
.
(b) Usando a transformação
, determine
para cada
.
(c) Verifique que
tem distribuição exponencial. Qual o parâmetro?
(a) Verifique que
(b) Usando a transformação
(c) Verifique que
Passo 1
O enunciado dá o vetor aleatório
com densidade conjunta
e define
. Pede:
- Mostrar que
e são . - Calcular
usando a transformação polar , . - Identificar a distribuição de
e seu parâmetro.
Passo 2
Para obter a densidade marginal de
integramos em
:
Logo
. Por simetria a mesma conta vale para
, e como a densidade conjunta se fatoriza em marginais,
e
são independentes.
Passo 3
Fazemos a mudança para coordenadas polares:
Em
a densidade vira
com
,
.
Passo 4
Temos
, então para
:
Integrando em
dá fator
que cancela, restando
Portanto
Passo 5
Como a função de distribuição de
é
vemos que
segue distribuição exponencial com parâmetro
(isto é, densidade
,
).
Resposta
(a)
e
são independentes e cada um tem distribuição
.
(b) Para ,
(c) .
(b) Para
(c)