Seja X1 ldots Xn uma amostra de população com densidade normal (média mu e variância sigma^2 ).
Obtenha o E.M.V. de theta=mu.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar o estimador de máxima verossimilhança (E.M.V.) de theta=mu, considerando uma amostra X1,dots,Xn vinda de uma normal com média mu e variância sigma^2 (que a gente assume conhecida).
Conteúdo: estimativa por máxima verossimilhança.
O que vamos precisar:
  • Escrever a função densidade de cada Xi.
  • Montar a função de verossimilhança (produto das densidades).
  • Tomar o log da verossimilhança (log-verossimilhança) para simplificar.
  • Derivar em relação a mu, igualar a zero e resolver.
  • Verificar que é máximo (segunda derivada negativa).

Passo 2

Primeiro, a densidade de cada observação Xi é
f(xi;mu)=1raiz2pisigma^2exp-(xi-mu)^22sigma^2
Como as Xi são independentes, a verossimilhança é o produto delas:
L(mu)=prodi=1^n f(xi;mu) =(1raiz2pisigma^2)^!n exp-sumi=1^n(xi-mu)^22sigma^2

Passo 3

Para facilitar, usamos a log-verossimilhança:
ell(mu)=ln L(mu) =-n2ln(2pisigma^2) -12sigma^2sumi=1^n (xi-mu)^2
Agora derivamos em relação a mu (regra do derivar do quadrado):
delldmu =-12sigma^2cdot 2sumi=1^n (xi-mu)cdot(-1) =1sigma^2sumi=1^n (xi-mu)
Pra achar o candidato a máximo, igualamos a zero:
delldmu=0 Longrightarrow sumi=1^n (xi-mu)=0

Passo 4

Resolvendo a soma,
sumi=1^n xi ;-;n,mu=0 Longrightarrow mu=1nsumi=1^n xi
Esse é o ponto crítico. Para confirmar que é máximo, olhamos a segunda derivada:
d^2elldmu^2 =-nsigma^2<0,
o que garante um máximo.

Resposta

O estimador de máxima verossimilhança para mu é
boxedhatmuMLE=1nsumi=1^n Xi

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