Seja
uma amostra de população com densidade normal (média
e variância
).
Obtenha o E.M.V. de
.
Obtenha o E.M.V. de
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar o estimador de máxima verossimilhança (E.M.V.) de
, considerando uma amostra
vinda de uma normal com média
e variância
(que a gente assume conhecida).
Conteúdo: estimativa por máxima verossimilhança.
O que vamos precisar:
Conteúdo: estimativa por máxima verossimilhança.
O que vamos precisar:
- Escrever a função densidade de cada
. - Montar a função de verossimilhança (produto das densidades).
- Tomar o log da verossimilhança (log-verossimilhança) para simplificar.
- Derivar em relação a
, igualar a zero e resolver. - Verificar que é máximo (segunda derivada negativa).
Passo 2
Primeiro, a densidade de cada observação
é
Como as
são independentes, a verossimilhança é o produto delas:
Passo 3
Para facilitar, usamos a log-verossimilhança:
Agora derivamos em relação a
(regra do derivar do quadrado):
Pra achar o candidato a máximo, igualamos a zero:
Passo 4
Resolvendo a soma,
Esse é o ponto crítico. Para confirmar que é máximo, olhamos a segunda derivada:
o que garante um máximo.
Resposta
O estimador de máxima verossimilhança para
é