Seja 
  uma a.a. de 
 . Obtenha uma estatística suficiente para 
  usando o T.F.
Passo 1
Beleza, vamos lá: a questão diz que temos 
  observações independentes e identicamente distribuídas 
  de uma distribuição normal 
 . O que a gente quer é achar uma estatística suficiente para 
  usando o Teorema da Fatoração (TF).
Conteúdo: inferência paramétrica – estatística suficiente – TF.
O que precisamos: a densidade conjunta da amostra e aplicar o TF, ou seja, mostrar que dá pra separar em duas partes, uma só de  e outra que depende de 
  só via uma estatística.
Conteúdo: inferência paramétrica – estatística suficiente – TF.
O que precisamos: a densidade conjunta da amostra e aplicar o TF, ou seja, mostrar que dá pra separar em duas partes, uma só de
Passo 2
Primeiro, a densidade de cada 
  é
Como são independentes, a densidade conjunta é
Passo 3
Agora a gente expande o somatório no expoente:
Então
Aqui deu certinho o formato do TF:
- 
não depende de .  - 
depende de só via  
Passo 4
Pelo Teorema da Fatoração, isso mostra que 
  é estatística suficiente para 
 . (E, como bônus, qualquer função bijetora de 
 , tipo a média 
 , também é suficiente.)
Resposta
A estatística suficiente para 
  é