Seja
uma a.a. de
. Obtenha uma estatística suficiente para
usando o T.F.
Passo 1
Beleza, vamos lá: a questão diz que temos
observações independentes e identicamente distribuídas
de uma distribuição normal
. O que a gente quer é achar uma estatística suficiente para
usando o Teorema da Fatoração (TF).
Conteúdo: inferência paramétrica – estatística suficiente – TF.
O que precisamos: a densidade conjunta da amostra e aplicar o TF, ou seja, mostrar que dá pra separar em duas partes, uma só de e outra que depende de
só via uma estatística.
Conteúdo: inferência paramétrica – estatística suficiente – TF.
O que precisamos: a densidade conjunta da amostra e aplicar o TF, ou seja, mostrar que dá pra separar em duas partes, uma só de
Passo 2
Primeiro, a densidade de cada
é
Como são independentes, a densidade conjunta é
Passo 3
Agora a gente expande o somatório no expoente:
Então
Aqui deu certinho o formato do TF:
-
não depende de . -
depende de só via
Passo 4
Pelo Teorema da Fatoração, isso mostra que
é estatística suficiente para
. (E, como bônus, qualquer função bijetora de
, tipo a média
, também é suficiente.)
Resposta
A estatística suficiente para
é