Seja X1 ldots Xn uma a.a. de X sim N(mu, 1). Obtenha uma estatística suficiente para mu usando o T.F.

Passo 1

Beleza, vamos lá: a questão diz que temos n observações independentes e identicamente distribuídas X1,dots,Xn de uma distribuição normal N(mu,1). O que a gente quer é achar uma estatística suficiente para mu usando o Teorema da Fatoração (TF).
Conteúdo: inferência paramétrica – estatística suficiente – TF.
O que precisamos: a densidade conjunta da amostra e aplicar o TF, ou seja, mostrar que dá pra separar em duas partes, uma só de x e outra que depende de mu só via uma estatística.

Passo 2

Primeiro, a densidade de cada Xi é
f(ximidmu)=1raiz2pi,e^-tfrac12(xi-mu)^2
Como são independentes, a densidade conjunta é
f( xmidmu) =prodi=1^n f(ximidmu) =(2pi)^-tfrac n2expl-tfrac12sumi=1^n(xi-mu)^2r

Passo 3

Agora a gente expande o somatório no expoente:
sumi=1^n(xi-mu)^2 =sumi=1^n xi^2-2musumi=1^n xi +nmu^2
Então
f( xmidmu) =(2pi)^-tfrac n2 expl-tfrac12sum xi^2r ;times; explmusum xi-tfracnmu^22r
Aqui deu certinho o formato do TF:
  • h( x)=(2pi)^-tfrac n2exp-tfrac12sum xi^2 não depende de mu.
  • gl(T( x),mur)=expmu,T( x)-tfracnmu^22 depende de mu só via
T( x)=sumi=1^n xi

Passo 4

Pelo Teorema da Fatoração, isso mostra que T( X)=sumi=1^n Xi é estatística suficiente para mu. (E, como bônus, qualquer função bijetora de T, tipo a média bar X=T/n, também é suficiente.)

Resposta

A estatística suficiente para mu é
T( X)=sumi=1^n Xi

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