Sejam
e
duas V.A.s independentes tendo distribuição geométrica com parâmetros
e
respectivamente.
Obtenha:
(a)
Obtenha:
(a)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias independentes, X e Y, cada uma com distribuição geométrica: X com parâmetro
e Y com parâmetro
.
Queremos encontrar a probabilidade
Queremos encontrar a probabilidade
Pra resolver isso, vamos usar:
- A definição da distribuição geométrica.
- A independência entre X e Y.
- A soma de uma série geométrica infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
usando a soma total sobre todos os possíveis valores de Y. Como Y toma valores
,
Isso é a Lei da Probabilidade Total: condicionamos em cada valor
que Y pode assumir.
Passo 3
Agora, lembrando da distribuição geométrica:
-
. - Para
, a gente soma . Mas tem um jeito mais direto: Isso vem do fato de que, numa geométrica, pra ficar pelo menos em k, você precisa “falhar” (não ter sucesso) nos primeiros ensaios: erro cada vez com probabilidade .
Passo 4
Substituindo essas duas expressões na soma, dá:
Isso é uma série geométrica de razão
com primeiro termo
. A soma infinita vale
Passo 5
Aplicando a fórmula da soma, temos
No denominador simplifica assim: