Sejam X e Y duas V.A.s independentes tendo distribuição geométrica com parâmetros p1 e p2 respectivamente.
Obtenha:
(a) P(X >= Y)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias independentes, X e Y, cada uma com distribuição geométrica: X com parâmetro P(X >= Y) e Y com parâmetro .
Queremos encontrar a probabilidade
Pra resolver isso, vamos usar:
  • A definição da distribuição geométrica.
  • A independência entre X e Y.
  • A soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever P(X >= Y) = sumk=1^infty P(Y = k),P(X >= k) usando a soma total sobre todos os possíveis valores de Y. Como Y toma valores ,
Isso é a Lei da Probabilidade Total: condicionamos em cada valor que Y pode assumir.

Passo 3

Agora, lembrando da distribuição geométrica:
  • P(X >= k) = 1 - P(X <= k-1) = (1-p1)^,k-1 .
  • Para , a gente soma . Mas tem um jeito mais direto: Isso vem do fato de que, numa geométrica, pra ficar pelo menos em k, você precisa “falhar” (não ter sucesso) nos primeiros ensaios: erro cada vez com probabilidade .

Passo 4

Substituindo essas duas expressões na soma, dá:
P(X >= Y) = sumk=1^infty l((1-p2)^,k-1p2r),l((1-p1)^,k-1r) = p2 sumk=1^infty l((1-p1)(1-p2)r)^k-1
Isso é uma série geométrica de razão
r = (1-p1)(1-p2),
com primeiro termo sumn=0^infty r^n = 11-r, desde que |r|<1 . A soma infinita vale

Passo 5

Aplicando a fórmula da soma, temos
P(X >= Y) = p2 cdot 11 - (1-p1)(1-p2) = p21 - l(1 - p1 - p2 + p1p2r)
No denominador simplifica assim:
1 - l(1 - p1 - p2 + p1p2r) = p1 + p2 - p1 p2

Resposta

boxedP(X >= Y) = p2p1 + p2 - p1 p2

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