Suponha que X1 ldots Xn sejam amostras de populações com as seguintes densidades
p(x, theta)=theta a x^a-1 e^-theta x^a com x, theta, a>0.
Use o T. da Fatoração (T.F.) para encontrar uma estatística suficiente para theta em cada ítem.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos uma amostra independente
p(x;theta) =theta,a,x^a-1,e^-theta x^a, x>0,;theta>0,;a>0 com densidade
L(theta;x)=g(T(x),theta),h(x),
O que queremos é achar uma estatística suficiente para usando o Teorema da Fatoração.
Conteúdo envolvido:
  • Definição de função verossimilhança (produto das densidades).
  • Teorema da Fatoração: se a verossimilhança dividir-se em então é suficiente para .

Passo 2

Primeiro montamos a função verossimilhança L(theta) =prodi=1^n p(xi;theta) =prodi=1^nl[theta,a,xi^,a-1,e^-theta xi^ar] , que é só o produto das densidades individuais:
L(theta) =theta^n,a^n;l(prodi=1^n xi^,a-1r) ;expl-thetasumi=1^n xi^ar
Agrupando termos semelhantes:

Passo 3

Agora a gente separa L(theta) =underbraceexpl-thetasum xi^ar,theta^ng(T,theta) ;times; underbracea^nprod xi^,a-1h(x), em duas partes:
  1. um pedaço que depende de e de alguma função dos , chamemos de .
  2. um pedaço que depende só dos dados , sem , que é .
    Observando
vemos que tudo que envolve aparece junto com
.

Passo 4

Pelo Teorema da Fatoração, a estatística suficiente T(X)=sumi=1^n Xi^a é justamente essa combinação dos dados que “carrega” toda a dependência em . Aqui
é suficiente para .

Resposta

A estatística suficiente para boxedT(X)=sumi=1^n Xi^a é

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