Suponha que sejam amostras de populações com as seguintes densidades .
Use o T. da Fatoração (T.F.) para encontrar uma estatística suficiente para em cada ítem.
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos uma amostra independente com densidade
O que queremos é achar uma estatística suficiente para usando o Teorema da Fatoração.
Conteúdo envolvido:
Definição de função verossimilhança (produto das densidades).
Teorema da Fatoração: se a verossimilhança dividir-se ementão é suficiente para .
Passo 2
Primeiro montamos a função verossimilhança , que é só o produto das densidades individuais:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 3
Agora a gente separa em duas partes:
um pedaço que depende de e de alguma função dos , chamemos de .
um pedaço que depende só dos dados , sem , que é .
Observando
vemos que tudo que envolve aparece junto com .
Passo 4
Pelo Teorema da Fatoração, a estatística suficiente T(X)=sumi=1^n Xi^a é justamente essa combinação dos dados que “carrega” toda a dependência em . Aqui
é suficiente para .
Resposta
A estatística suficiente para boxedT(X)=sumi=1^n Xi^a é