Seja X1 ldots Xn uma a.a. de uma população com f.d.p. f(x, alpha, beta)=x^alpha-1Gamma(alpha) beta^alpha e^-x / beta I(x)(0, infty), com alpha, beta>0. Obtenha:
E.M.M de alpha, beta.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos f(x;alpha,beta)=x^alpha-1Gamma(alpha),beta^alphae^-x/beta, x>0,;alpha,beta>0 i.i.d. com distribuição Gama, isto é
A matéria aqui é o Método dos Momentos (E.M.M.): a ideia é igualar os momentos teóricos da distribuição aos momentos amostrais e daí achar estimadores de e . Vamos precisar calcular a média e a variância (ou o segundo momento) amostrais e usar as fórmulas de e para a Gama.

Passo 2

Primeiro, lembra da teoria do Método dos Momentos:
  1. Calcular o momento teórico de ordem 1 e de ordem 2 (ou da variância) da distribuição.
  2. Calcular o momento amostral de ordem 1 e de ordem 2 (ou da variância amostral).
  3. Igualar cada momento teórico ao correspondente momento amostral e resolver o sistema para os parâmetros.

Passo 3

Momentos teóricos da Gama:
  • overline X = 1nsumi=1^n Xi .
  • S^2 = 1nsumi=1^n (Xi-overline X)^2 .
Momentos amostrais (vamos usar média e variância “não viesada” com divisões por , é suficiente para o método):
  • Média amostral:
  • Variância amostral (com divisor ):

Passo 4

Agora a gente iguala:
  1. S^2 = l(tfracoverline Xbetar),beta^2 = overline X,beta ;;Longrightarrow;; beta = S^2overline X .
  2. alpha = overline X,S^2/overline X, = overline X^2S^2 .
Temos um sistema em e . Resolve assim:
  • Da primeira equação: .
  • Substitui na segunda:
  • E daí voltamos em :

Resposta

Os estimadores pelo Método dos Momentos são
boxedalpha^star ;=;overline X^2S^2, beta^star ;=;S^2overline X

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