Seja
uma a.a. de
é eficiente para estimar
?
Passo 1
Beleza, temos uma amostra independente e identicamente distribuída (a.a.)
de uma variável Poisson com parâmetro
. Queremos saber se o estimador
é eficiente para estimar
.
Conteúdo: estimadores, viés, variância, informação de Fisher e desigualdade de Cramér–Rao.
O que vamos precisar:
Conteúdo: estimadores, viés, variância, informação de Fisher e desigualdade de Cramér–Rao.
O que vamos precisar:
- Mostrar que
é não-viesado; - Calcular a variância de
; - Achar a informação de Fisher
da amostra; - Checar se
atinge o limite de Cramér–Rao .
Passo 2
Primeiro, lembra da função massa de probabilidade da Poisson:
O log-verossimilhança da amostra é
A partir daí, a estatística natural é
. A gente usa isso pra calcular a informação de Fisher depois.
Passo 3
Agora, mostra que
é não-viesado. Cada
tem
, logo
Pronto: não há viés.
Passo 4
Vamos achar a informação de Fisher para
. A definição pra amostra é
Da expressão de
temos
Tomando expectativa:
. Então
Passo 5
Agora a desigualdade (Cramér–Rao) diz que, para qualquer estimador não-viesado
,
No nosso caso,
, então o limite é
. Por outro lado,
Repara que
, exatamente o limite de Cramér–Rao.
Resposta
Sim,
é eficiente para estimar
, pois é não-viesado e atinge o limite de variância dado pela desigualdade de Cramér–Rao.