Seja X1, ldots, Xn uma a.a. de X sim Poisson(lambda) barX é eficiente para estimar lambda ?

Passo 1

Beleza, temos uma amostra independente e identicamente distribuída (a.a.) de uma variável Poisson com parâmetro . Queremos saber se o estimador é eficiente para estimar .
Conteúdo: estimadores, viés, variância, informação de Fisher e desigualdade de Cramér–Rao.
O que vamos precisar:
  • Mostrar que é não-viesado;
  • Calcular a variância de ;
  • Achar a informação de Fisher da amostra;
  • Checar se atinge o limite de Cramér–Rao .

Passo 2

Primeiro, lembra da função massa de probabilidade da Poisson:
P(Xi=k)=e^-lambdalambda^kk!, k=0,1,2,dots
O log-verossimilhança da amostra é
ell(lambda) = sumi=1^nl[-lambda + Xilnlambda - ln(Xi!)r] = -nlambda + l(sumi Xir)lnlambda + const
A partir daí, a estatística natural é . A gente usa isso pra calcular a informação de Fisher depois.

Passo 3

Agora, mostra que E[bar X] = El[1nsumi=1^n Xir] = 1n sumi=1^n E[Xi] = 1n cdot nlambda = lambda é não-viesado. Cada tem , logo
Pronto: não há viés.

Passo 4

Vamos achar a informação de Fisher para I(lambda) = -,El[d^2dlambda^2ell(lambda)r] . A definição pra amostra é
delldlambda = -n + sumi Xilambda, d^2elldlambda^2 = -,sumi Xilambda^2
Da expressão de I(lambda) = -,El[-sumi Xilambda^2r] = nlambdalambda^2 = nlambda temos
Tomando expectativa: . Então

Passo 5

Agora a desigualdade (Cramér–Rao) diz que, para qualquer estimador não-viesado Var(hattheta) ;>=; 1I(lambda) ,
Var(bar X) = 1n^2Varl(sumi Xir) = 1n^2sumiVar(Xi) = 1n^2cdot nlambda = lambdan
No nosso caso, , então o limite é . Por outro lado,
Repara que , exatamente o limite de Cramér–Rao.

Resposta

Sim, é eficiente para estimar , pois é não-viesado e atinge o limite de variância dado pela desigualdade de Cramér–Rao.

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