Seja
uma amostra de população com densidade normal (média
e variância
).
Obtenha o E.M.V. de
.
Obtenha o E.M.V. de
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: temos uma amostra
de uma população Normal com média
e variância
. A gente quer achar o E.M.V. (estimador de máxima verossimilhança) para
.
Conteúdo: estimação pelo método de máxima verossimilhança em distribuição Normal.
O que vamos precisar:
Conteúdo: estimação pelo método de máxima verossimilhança em distribuição Normal.
O que vamos precisar:
- Montar a função de verossimilhança
. - Passar para o logaritmo (log-verossimilhança) para facilitar derivadas.
- Derivar em relação a
e , achar os críticos e testar que são máximos.
Passo 2
Escrevendo a verossimilhança para os dados
:
Pra simplificar, usamos o logaritmo:
Pra simplificar, usamos o logaritmo:
Explicando: trocar produto por soma de log é padrão pra ficar mais fácil de derivar.
Passo 3
Agora achamos o E.M.V. de
. Derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Teoria: pra vários parâmetros, a gente deriva em cada um e resolve o sistema.
Passo 4
Com
em mãos, voltamos à log-verossimilhança e derivamos em
:
Fazendo a derivada:
Isolando
:
Resposta
O estimador de máxima verossimilhança para
é