Seja X1 ldots Xn uma amostra de população com densidade normal (média mu e variância sigma^2 ).
Obtenha o E.M.V. de theta=sigma^2.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: temos uma amostra de uma população Normal com média e variância . A gente quer achar o E.M.V. (estimador de máxima verossimilhança) para .
Conteúdo: estimação pelo método de máxima verossimilhança em distribuição Normal.
O que vamos precisar:
  • Montar a função de verossimilhança .
  • Passar para o logaritmo (log-verossimilhança) para facilitar derivadas.
  • Derivar em relação a e , achar os críticos e testar que são máximos.

Passo 2

Escrevendo a verossimilhança para os dados ell(mu,sigma^2) = ln L = -n2ln(2pisigma^2) - 12sigma^2sumi=1^n (xi-mu)^2 :

Pra simplificar, usamos o logaritmo:
Explicando: trocar produto por soma de log é padrão pra ficar mais fácil de derivar.

Passo 3

Agora achamos o E.M.V. de partial ellpartial mu = -12sigma^2cdot 2sumi=1^n (xi-mu)cdot(-1) = 1sigma^2sumi=1^n (xi-mu) =0 ;Rightarrow; sumi=1^n (xi-mu)=0 ;Rightarrow; hatmu = bar x = 1nsumi=1^n xi . Derivamos em relação a e igualamos a zero:
Teoria: pra vários parâmetros, a gente deriva em cada um e resolve o sistema.

Passo 4

Com ell(bar x,sigma^2) = -n2ln(2pisigma^2) - 12sigma^2sumi=1^n (xi-bar x)^2 em mãos, voltamos à log-verossimilhança e derivamos em partial ellpartial sigma^2 = -n2cdot1sigma^2 + 12(sigma^2)^2sumi=1^n (xi-bar x)^2 =0 :
-n2sigma^2 + sum (xi-bar x)^22(sigma^2)^2 =0 ;Rightarrow; sum (xi-bar x)^2(sigma^2)^2 = nsigma^2 ;Rightarrow; hatsigma^2 = 1nsumi=1^n (xi-bar x)^2
Fazendo a derivada:
Isolando :

Resposta

O estimador de máxima verossimilhança para boxedhatthetaMLE = hatsigma^2 = 1nsumi=1^n l(Xi - bar Xr)^2 é

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