Seja X1 ldots Xn uma amostra de população com as densidades ou frequências de função listadas abaixo. Para cada uma delas, encontrar o E.M.V de theta.
f(x, theta)=theta c x^c-1 e^-theta x^c, x >= 0, c cte, theta>0.

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que temos uma amostra independente f(x;theta)=theta,c,x^c-1e^-theta x^c, x>=0,;theta>0, com densidade
onde é constante conhecida. O que a gente quer é o E.M.V. (estimador de máxima verossimilhança) de . Para isso vamos precisar montar a função de verossimilhança, passar pro logaritmo, derivar em relação a e igualar a zero.

Passo 2

Primeiro, a função de verossimilhança L(theta) =prodi=1^n f(Xi;theta) =prodi=1^nl(theta,c,Xi^,c-1e^-theta Xi^cr) para a amostra é o produto das densidades:
Como produto se transforma em soma no log, calculamos a log-verossimilhança .

Passo 3

Escrevendo a soma dos logs,
ell(theta) =sumi=1^nl[ln(theta)+ln(c)+(c-1)ln Xi-theta Xi^cr] =nlntheta + nln c + (c-1)sumi=1^nln Xi ;-;thetasumi=1^n Xi^c

Passo 4

Agora a gente deriva delldtheta =ddthetal(nlnthetar) -ddthetal(thetasumi Xi^cr) =ntheta-sumi=1^n Xi^c em relação a ntheta-sumi=1^n Xi^c=0 Longrightarrow ntheta=sumi=1^n Xi^c Longrightarrow hattheta =nsumi=1^n Xi^c e iguala a zero para achar o máximo.
Igualando a zero:

Resposta

O estimador de máxima verossimilhança (E.M.V.) de boxedhattheta ;=;nsumi=1^n Xi^c é

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