Seja a.a. de uma população quando são desconhecidos. Mostre que , é suficiente pelo T.F.
Passo 1
Beleza, temos amostras independentes e igualmente distribuídas de uma Uniforme , com os dois extremos e desconhecidos. A tarefa é mostrar que o par
é uma estatística suficiente para , usando o Teorema da Fatoração (TF).
Para isso, vamos precisar:
Do PDF conjunto de .
Do enunciado do Teorema da Fatoração.
De escrever esse PDF de um jeito que separe uma parte que dependa só de e e outra parte que não dependa de .
Passo 2
Primeiro, qual é o PDF de uma amostra de ?
Cada tem densidade
Como são independentes, o PDF conjunto é o produto:
mas só vale se todos os estiverem entre e . Caso contrário, é zero. Podemos escrever isso usando um indicador:
Passo 3
Agora, o Teorema da Fatoração diz:
Uma estatística f(x;theta) = gl(T(x);thetar);h(x), é suficiente se tivermos
T(x)=(m,M), m=mini xi,;M=maxi xi
onde f(x1,dots,xn;theta1,theta2) =underbrace1(theta2-theta1)^n ,1theta1<= m<= M<=theta2g(m,M;theta1,theta2) ;times; underbrace1h(x1,dots,xn) depende de só por e , e não depende de .
No nosso caso, definimos
Então podemos escrever
Passo 4
Repare que:
depende de e só de via .
não depende de .
Isso é exatamente a forma exigida pelo Teorema da Fatoração. Logo, é suficiente para .
Resposta
é estatística suficiente para pelo Teorema da Fatoração.