Seja X1 ldots Xn a.a. de uma população U(theta1, theta2) quando theta1, theta2 são desconhecidos. Mostre que T(X)=(min (X1, ldots, Xn), máx(X1, ldots, Xn)) é suficiente pelo T.F.

Passo 1

Beleza, temos T(X)=l(mini Xi,;maxi Xir) amostras independentes e igualmente distribuídas de uma Uniforme , com os dois extremos e desconhecidos. A tarefa é mostrar que o par
é uma estatística suficiente para , usando o Teorema da Fatoração (TF).
Para isso, vamos precisar:
  1. Do PDF conjunto de .
  2. Do enunciado do Teorema da Fatoração.
  3. De escrever esse PDF de um jeito que separe uma parte que dependa só de e e outra parte que não dependa de .

Passo 2

Primeiro, qual é o PDF de uma amostra fXi(xi;theta1,theta2) = dfrac1theta2-theta1,&theta1<= xi<=theta2,[6pt] 0,&caso contrário de f(x1,dots,xn;theta1,theta2) =prodi=1^n 1theta2-theta1 =1(theta2-theta1)^n, ?
Cada f(x1,dots,xn;theta1,theta2) =1(theta2-theta1)^n, 1theta1<= mini xi ;<=;maxi xi<=theta2 tem densidade
á
Como são independentes, o PDF conjunto é o produto:
mas só vale se todos os estiverem entre e . Caso contrário, é zero. Podemos escrever isso usando um indicador:

Passo 3

Agora, o Teorema da Fatoração diz:
Uma estatística f(x;theta) = gl(T(x);thetar);h(x), é suficiente se tivermos
T(x)=(m,M), m=mini xi,;M=maxi xi
onde f(x1,dots,xn;theta1,theta2) =underbrace1(theta2-theta1)^n ,1theta1<= m<= M<=theta2g(m,M;theta1,theta2) ;times; underbrace1h(x1,dots,xn) depende de só por e , e não depende de .
No nosso caso, definimos
Então podemos escrever

Passo 4

Repare que:
  • depende de e só de via .
  • não depende de .
Isso é exatamente a forma exigida pelo Teorema da Fatoração. Logo, é suficiente para .

Resposta

é estatística suficiente para pelo Teorema da Fatoração.

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