Seja X1 ldots Xn uma amostra de população com as densidades ou frequências de função listadas abaixo. Para cada uma delas, encontrar o E.M.V de theta.
f(x, theta)=raiztheta x^raiztheta-1, 0 <= x <= 1, theta>0.

Passo 1

O enunciado pede para achar o estimador de máxima verossimilhança (E.M.V.) de θ, quando temos uma amostra independente e identicamente distribuída f(x,theta)=raiztheta;x^raiztheta-1, 0<= x<=1,;theta>0 com densidade
Conteúdo: estimação por máxima verossimilhança. O que vamos precisar:
  • Montar a função de verossimilhança .
  • Passar para o logaritmo, .
  • Derivar em relação a , igualar a zero e resolver.
  • Entender regras de derivação de e .

Passo 2

Primeiro, montamos a verossimilhança multiplicando as densidades:
L(theta) =prodi=1^n f(xi,theta) =prodi=1^n l(raiztheta;xi^raiztheta-1r) =(raiztheta)^n;prodi=1^n xi^raiztheta-1
Aqui usamos que ao multiplicar potências com mesma base somamos expoentes e que .

Passo 3

Agora pegamos o logaritmo para simplificar derivação:
ell(theta)=ln L(theta) =lnl(theta^n/2r)+lnl(prod xi^raiztheta-1r) =n2lntheta+(raiztheta-1)sumi=1^nln xi
Para achar o máximo, derivamos em relação a delldtheta =n2,1theta +sumi=1^nln xi;ddtheta(raiztheta-1) =n2theta+12raizthetasumi=1^nln xi . Lembre que

e
.
Então

Passo 4

Igualamos n2theta+12raizthetasumi=1^nln xi=0 Longrightarrow ntheta+1raizthetasumi=1^nln xi=0 para achar o candidato ao máximo:
nraiztheta+sumi=1^nln xi=0 Longrightarrow nraiztheta=-sumi=1^nln xi Longrightarrow raiztheta=n-sumi=1^nln xi
Multiplicando por theta =l(raizthetar)^2 =(n-,sumi=1^nln xi)^2 :
Elevando ao quadrado, temos o E.M.V.:

Resposta

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