Seja X1 ldots Xn uma a.a. de uma população com f.d.p. f(x, alpha, beta)=x^alpha-1Gamma(alpha) beta^alpha e^-x / beta I(x)(0, infty), com alpha, beta>0. Obtenha:
E.M.M. de q(theta)=raizVAR(X)E(X).

Passo 1

Beleza, temos uma amostra iid de uma distribuição Gama com parâmetros (alpha,beta), cuja densidade é
f(x;alpha,beta)=x^alpha-1Gamma(alpha),beta^alphae^-x/beta, x>0
O que a questão pede é o estimador pelo Método dos Momentos (E.M.M.) de
q(theta);=;raizVar(X)E(X)
Pra isso, vamos usar o conteúdo de Teoria de Estimadores pelo Método dos Momentos, ou seja, igualar momentos amostrais aos momentos teóricos. A gente vai precisar saber que
E(X)=alpha,beta, Var(X)=alpha,beta^2,
e também as definições de média e variância amostrais.

Passo 2

Primeiro, definimos os momentos amostrais que a gente vai usar:
– A média amostral
bar X = 1nsumi=1^n Xi
– A variância amostral (com denominador n, que é a que o Método dos Momentos utiliza)
S^2 = 1nsumi=1^n (Xi-bar X)^2
Pelo Método dos Momentos, a gente iguala cada momento teórico ao correspondente amostral.

Passo 3

Igualamos o primeiro momento:
E(X)=alphabeta ;longrightarrow; alpha,beta = bar X
Igualamos o segundo momento central (a variância):
Var(X)=alphabeta^2 ;longrightarrow; alpha,beta^2 = S^2
Agora resolvemos esse sistema para alpha e beta. Da primeira equação temos
beta = bar Xalpha
Substituindo na segunda:
alpha;l(bar Xalphar)^2 ;=; S^2 Longrightarrow bar X^2alpha = S^2 Longrightarrow alpha = bar X^2S^2
E então
beta = bar Xalpha = bar X,bar X^2/S^2, = S^2bar X

Passo 4

Lembra que
q(theta)=raizVar(X)E(X) =raizalpha,beta^2alpha,beta =betaraizalphaalpha,beta =1raizalpha
Então o E.M.M. é só substituir alpha por widehatalpha = bar X^2/S^2:
widehat q = 1raizwidehatalpha = 1raizbar X^2/S^2 = Sbar X

Resposta

O estimador pelo Método dos Momentos de
q(theta)=raizVar(X)E(X)
é
boxedwidehat q = Sbar X,
onde bar X=1nsum Xi e S=raiz1nsum(Xi-bar X)^2,.

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