Seja
uma a.a. de uma população com f.d.p.
,
. Obtenha:
E.M.M. de
.
E.M.M. de
Passo 1
Beleza, temos uma amostra iid de uma distribuição Gama com parâmetros
, cuja densidade é
O que a questão pede é o estimador pelo Método dos Momentos (E.M.M.) de
Pra isso, vamos usar o conteúdo de Teoria de Estimadores pelo Método dos Momentos, ou seja, igualar momentos amostrais aos momentos teóricos. A gente vai precisar saber que
e também as definições de média e variância amostrais.
Passo 2
Primeiro, definimos os momentos amostrais que a gente vai usar:
– A média amostral
– A média amostral
– A variância amostral (com denominador
, que é a que o Método dos Momentos utiliza)
Pelo Método dos Momentos, a gente iguala cada momento teórico ao correspondente amostral.
Passo 3
Igualamos o primeiro momento:
Igualamos o segundo momento central (a variância):
Agora resolvemos esse sistema para
e
. Da primeira equação temos
Substituindo na segunda:
E então
Passo 4
Lembra que
Então o E.M.M. é só substituir
por
:
Resposta
O estimador pelo Método dos Momentos de
é
onde
e
.