Seja X1 ldots Xn a.a. de uma população com média mu e variância sigma^2 desconhecida. Seja T(X)=sumi=1^n ci xi. Mostre que se sumi=1^n ci=1 então T é não viciado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o estimador
T(X)=sumi=1^nci,Xi
é não‐viciado (isto é, tem esperança igual a ) sempre que
.
Estamos na parte de Estatística—mais precisamente em teoria de estimação.
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Definir o que é valor esperado (esperança) de uma variável aleatória.
  2. Saber que a esperança de uma soma é a soma das esperanças (linearidade da esperança).
  3. Usar que cada tem .

Passo 2

Definição de estimador não‐viciado: um estimador E[T]=mu é não‐viciado para E[T]=El(sumi=1^nci,Xir);=;sumi=1^nci,E[Xi] se
Agora calculemos usando a linearidade da esperança:
Aqui não precisamos de independência nem de nada mais complicado, só desse fato da esperança.

Passo 3

Sabendo que cada E[Xi]=mupara todo i vem da população com média E[T]=sumi=1^nci,mu ;=;musumi=1^nci, temos
Substituindo na soma:

Passo 4

Como a condição do enunciado é E[T]=mucdot 1=mu, fica
Pronto: mostramos que a esperança de é , logo é não‐viciado.

Resposta

O estimador é não‐viciado sempre que , pois aí .

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