Seja
a.a. de uma população com média
e variância
desconhecida. Seja
. Mostre que se
então
é não viciado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o estimador
é não‐viciado (isto é, tem esperança igual a
) sempre que
.
Estamos na parte de Estatística—mais precisamente em teoria de estimação.
Para resolver isso, vamos precisar:
Estamos na parte de Estatística—mais precisamente em teoria de estimação.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Definir o que é valor esperado (esperança) de uma variável aleatória.
- Saber que a esperança de uma soma é a soma das esperanças (linearidade da esperança).
- Usar que cada
tem .
Passo 2
Definição de estimador não‐viciado: um estimador
é não‐viciado para
se
Agora calculemos
usando a linearidade da esperança:
Aqui não precisamos de independência nem de nada mais complicado, só desse fato da esperança.
Passo 3
Sabendo que cada
vem da população com média
, temos
Substituindo na soma:
Passo 4
Como a condição do enunciado é
, fica
Pronto: mostramos que a esperança de
é
, logo
é não‐viciado.
Resposta
O estimador
é não‐viciado sempre que
, pois aí
.