Suponha que sejam amostras de populações com as seguintes densidades .
Use o T. da Fatoração (T.F.) para encontrar uma estatística suficiente para em cada ítem.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos amostras independentes de uma distribuição com densidade
O que queremos é usar o Teorema da Fatoração pra achar uma estatística suficiente para .
Para isso, a gente vai precisar:
Escrever a densidade conjunta das amostras.
Lembrar do Teorema da Fatoração (fatorizar em uma parte que dependa de só via alguma função e outra que não dependa de ).
Passo 2
Vamos montar a densidade conjunta. Como os são independentes,
Passo 3
Repare que
Então
Passo 4
Agora identificamos:
A parte que envolve theta só através de l(a^n/prod xir)^!theta;theta^n depende de theta e de prod xi.
A parte l(prod xir)^-1 não depende de theta.
Logo, pelo Teorema da Fatoração, uma estatística suficiente é qualquer função injetora de prodi=1^n xi.
Em especial, podemos usar
T( X)=prodi=1^n Xi ou, de forma equiva<=nte, T( X)=sumi=1^nln Xi