Suponha que X1 ldots Xn sejam amostras de populações com as seguintes densidades
p(x, theta)=theta a^thetax^theta+1 com x, theta, a>0.
Use o T. da Fatoração (T.F.) para encontrar uma estatística suficiente para theta em cada ítem.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos amostras independentes X1,dots,Xn de uma distribuição com densidade
p(x;theta)=theta,a^thetax^theta+1, x>0,;theta>0,;a>0
O que queremos é usar o Teorema da Fatoração pra achar uma estatística suficiente para theta.
Para isso, a gente vai precisar:
  • Escrever a densidade conjunta das amostras.
  • Lembrar do Teorema da Fatoração (fatorizar em uma parte que dependa de theta só via alguma função T(x) e outra que não dependa de theta).

Passo 2

Vamos montar a densidade conjunta. Como os Xi são independentes,
L(theta; x) =prodi=1^n p(xi;theta) =prodi=1^ntheta,a^thetaxi^theta+1 =theta^n,a^ntheta,prodi=1^n xi^-(theta+1)

Passo 3

Repare que
prodi=1^n xi^-(theta+1) =l(prodi=1^n xir)^-(theta+1) =l(prodi=1^n xir)^-theta,l(prodi=1^n xir)^-1
Então
L(theta; x) =theta^n, underbracea^ntheta,l(prodi=1^n xir)^-theta=;l(a^n/prod xir)^!theta ;times;l(prodi=1^n xir)^-1

Passo 4

Agora identificamos:
  • A parte que envolve theta só através de l(a^n/prod xir)^!theta;theta^n depende de theta e de prod xi.
  • A parte l(prod xir)^-1 não depende de theta.
    Logo, pelo Teorema da Fatoração, uma estatística suficiente é qualquer função injetora de prodi=1^n xi.
    Em especial, podemos usar
T( X)=prodi=1^n Xi ou, de forma equiva<=nte, T( X)=sumi=1^nln Xi

Resposta

Uma estatística suficiente para theta é
T( X) =sumi=1^n ln Xi l(ou a

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