Seja
e ponha
verifique que
e conclua que existe
.
Passo 1
Então, temos uma sequência definida de forma recursiva: começamos com $ x_1 = 1 $ e, para cada próximo termo, usamos a fórmula $ x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} $. O objetivo aqui é mostrar que a diferença entre termos consecutivos está diminuindo de uma forma específica e, com isso, concluir que a sequência tem um limite, ou seja, $ \lim x_n $ existe. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências e limites, além de trabalhar com desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os dois próximos termos da sequência para entender como ela se comporta. Começamos com $ x_1 = 1 $.
Calculando $ x_2 $:
Calculando $ x_3 $:
Vemos que a sequência está oscilando: de 1 para 2, depois para 1.5, e assim por diante.
Passo 3
Agora, vamos calcular a diferença entre $ x_{n+1} $ e $ x_n $ para ver como ela se comporta. A diferença é dada por $ |x_{n+1} - x_n| $.
Tomando os valores que já calculamos:
Vemos que a diferença diminuiu de 1 para 0.5.
Passo 4
Vamos generalizar isso. Queremos mostrar que:
Isso significa que a diferença entre termos consecutivos está reduzindo pela metade a cada passo.
Para provar isso, vamos expressar $ x_{n+2} $ em termos de $ x_{n+1} $:
E $ x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} $
Então:
Como $ x_n $ e $ x_{n+1} $ são positivos (pois começamos com $ x_1 = 1 $ e a fórmula gera apenas termos positivos), podemos simplificar:
Agora, observamos que $ x_n x_{n+1} > 2 $ (como $ x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} $ e $ x_n \geq 1 $), então:
Portanto:
Passo 5
Com essa desigualdade estabelecida, percebemos que a diferença entre termos consecutivos está diminuindo pela metade a cada passo. Isso significa que, conforme avançamos na sequência, os termos vão se aproximando mais e mais uns dos outros, ficando cada vez mais próximos.
Essa propriedade é importante porque, em matemática, quando as diferenças entre termos consecutivos de uma sequência vão se tornando muito pequenas, podemos concluir que a sequência está “se estabilizando” em algum valor. Ou seja, a sequência está convergindo para um limite.
Resposta
Portanto, a sequência definida por $ x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} $ satisfaz a desigualdade $ |x_{n+2} - x_{n+1}| < \frac{1}{2} |x_{n+1} - x_n| $ para todo $ n $, o que garante que ela converge para um limite $ \lim x_n $.