Seja x1=1 e ponha xn+1=1+1xn verifique que |xn+2-xn+1|<12|xn+1-xn| e conclua que existe lim xn.

Passo 1

Então, temos uma sequência definida de forma recursiva: começamos com $ x_1 = 1 $ e, para cada próximo termo, usamos a fórmula $ x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} $. O objetivo aqui é mostrar que a diferença entre termos consecutivos está diminuindo de uma forma específica e, com isso, concluir que a sequência tem um limite, ou seja, $ \lim x_n $ existe. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências e limites, além de trabalhar com desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os dois próximos termos da sequência para entender como ela se comporta. Começamos com $ x_1 = 1 $.
Calculando $ x_2 $:
x1 = 1
Calculando $ x_3 $:
x2
Vemos que a sequência está oscilando: de 1 para 2, depois para 1.5, e assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença entre $ x_{n+1} $ e $ x_n $ para ver como ela se comporta. A diferença é dada por $ |x_{n+1} - x_n| $.
Tomando os valores que já calculamos:
xn+1
xn
Vemos que a diferença diminuiu de 1 para 0.5.

Passo 4

Vamos generalizar isso. Queremos mostrar que:
|xn+2 - xn+1| < 12 |xn+1 - xn|
Isso significa que a diferença entre termos consecutivos está reduzindo pela metade a cada passo.
Para provar isso, vamos expressar $ x_{n+2} $ em termos de $ x_{n+1} $:
xn+2
E $ x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} $
Então:
xn+1
xn+2 = 1 + 1xn+1
Como $ x_n $ e $ x_{n+1} $ são positivos (pois começamos com $ x_1 = 1 $ e a fórmula gera apenas termos positivos), podemos simplificar:
xn+1 = 1 + 1xn
Agora, observamos que $ x_n x_{n+1} > 2 $ (como $ x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} $ e $ x_n \geq 1 $), então:
|xn+2 - xn+1| = | (1 + 1xn+1) - (1 + 1xn) | = | 1xn+1 - 1xn |
Portanto:
= | xn - xn+1xn xn+1 | = |xn - xn+1||xn xn+1|

Passo 5

Com essa desigualdade estabelecida, percebemos que a diferença entre termos consecutivos está diminuindo pela metade a cada passo. Isso significa que, conforme avançamos na sequência, os termos vão se aproximando mais e mais uns dos outros, ficando cada vez mais próximos.
Essa propriedade é importante porque, em matemática, quando as diferenças entre termos consecutivos de uma sequência vão se tornando muito pequenas, podemos concluir que a sequência está “se estabilizando” em algum valor. Ou seja, a sequência está convergindo para um limite.

Resposta

Portanto, a sequência definida por $ x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} $ satisfaz a desigualdade $ |x_{n+2} - x_{n+1}| < \frac{1}{2} |x_{n+1} - x_n| $ para todo $ n $, o que garante que ela converge para um limite $ \lim x_n $.

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