Use a definição para encontrar as derivadas da função.
f(x)=-2 x^2+4 x-6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função $ f(x) = -2x^{2} + 4x - 6 $ usando a definição de derivada. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente das derivadas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição de derivada e aplicar alguns passos de álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função $ f(x) $ em um ponto $ x $ é definida como o limite:
f(x)
Isso significa que vamos calcular quanto a função muda quando fazemos uma pequena variação $ h $ em $ x $.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ f(x + h) $. Substituímos $ x $ por $ x + h $ na função original:
f(x + h)

Passo 4

Vamos expandir e simplificar $ f(x + h) $:
f(x + h)
f(x + h) = -2(x^2 + 2xh + h^2) + 4x + 4h - 6

Passo 5

Agora, vamos calcular $ f(x + h) - f(x) $:
f(x + h) - f(x)
f(x + h) - f(x) = (-2x^2 - 4xh - 2h^2 + 4x + 4h - 6) - (-2x^2 + 4x - 6)
= -2x^2 - 4xh - 2h^2 + 4x + 4h - 6 + 2x^2 - 4x + 6

Passo 6

Agora, vamos dividir essa diferença por $ h $:
h
f(x + h) - f(x)h = -4xh - 2h^2 + 4hh

Passo 7

Por fim, vamos calcular o limite quando $ h $ se aproxima de 0:
h

Resposta

A derivada da função é $ f’(x) = -4x + 4 $.

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