Seja
uma amostra i.i.d. de uma
.
Sabendo que
é o estimador de máxima verossimilhança de
, calcule
e
. Pode-se dizer que
seja
de
?
Sabendo que
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma amostra i.i.d.
de uma Bernoulli(
). O enunciado diz que o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para
é
O que nos pedem é: calcular
e , e dizer se
é um estimador não‐viesado de variância mínima uniforme (ou seja, UMVUE).
Para isso, vamos usar:
Para isso, vamos usar:
- A propriedade linear da esperança:
e . - A independência para somar variâncias: .
- Para Bernoulli(
), sabemos que e . - Teorema de Cramér-Rao para checar eficiência (variância mínima).
Passo 2
Calcular
.
Então, a média amostral é não‐viesada:
.
Passo 3
Calcular .
Aqui usamos que os
são independentes.
Passo 4
Verificar se
é UMVUE.
- A gente já viu que é não‐viesado.
- O bound de Cramér-Rao para estimar
em Bernoulli é
onde
e a informação de Fisher é
Logo
que bate exatamente com .
Isso mostra que atinge o limite de Cramér-Rao e, portanto, é eficiente e é o UMVUE de
.
Isso mostra que
Resposta
E(
) =
Var( ) =
Sim, é um estimador não‐viesado de variância mínima uniforme (UMVUE) de
.
Var(
Sim,