Seja X1, X2, ldots Xn uma amostra i.i.d. de uma Berboulli(p).
Sabendo que p=barX é o estimador de máxima verossimilhança de p, calcule E(p) e Var(p). Pode-se dizer que p seja E N V U M V de p?

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma amostra i.i.d. hat p ;=;bar X ;=;1nsumi=1^n Xi de uma Bernoulli( ). O enunciado diz que o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para é
O que nos pedem é: calcular e , e dizer se é um estimador não‐viesado de variância mínima uniforme (ou seja, UMVUE).
Para isso, vamos usar:
  • A propriedade linear da esperança: e .
  • A independência para somar variâncias: .
  • Para Bernoulli( ), sabemos que e .
  • Teorema de Cramér-Rao para checar eficiência (variância mínima).

Passo 2

Calcular E(hat p) =E!l(tfrac1nsumi=1^n Xir) =tfrac1nsumi=1^n E(Xi) =tfrac1ncdot n,p =p .
Então, a média amostral é não‐viesada: .

Passo 3

Calcular .
Aqui usamos que os Var(hat p) =Var!l(tfrac1nsumi=1^n Xir) =tfrac1n^2sumi=1^n Var(Xi) =tfrac1n^2cdot n,p(1-p) =p(1-p)n são independentes.

Passo 4

Verificar se Var(hat p);>=;[g'(p)]^2I(p), é UMVUE.
  1. A gente já viu que é não‐viesado.
  2. O bound de Cramér-Rao para estimar I(p)=n;1p(1-p) em Bernoulli é
onde [g'(p)]^2I(p) =1,n/(p(1-p)), =p(1-p)n, e a informação de Fisher é
Logo
que bate exatamente com .
Isso mostra que atinge o limite de Cramér-Rao e, portanto, é eficiente e é o UMVUE de .

Resposta

E( ) =
Var( ) =
Sim, é um estimador não‐viesado de variância mínima uniforme (UMVUE) de .

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