Uma variável aleatória X que tem distribuição Weibull, com função densidade de probabilidade f(x mid alpha, beta)=alpha beta x^beta-1 exp -alpha x^beta, tem a seguinte esperança:
E(X)=alpha^-1 / beta Gamma(1+beta^-1)
Uma variável Rayleigh, que tem a densidade f(x mid theta)=theta x exp -theta2 x^2, é um caso particular da Weibull.
O tempo de vida (em anos) de lâmpadas de uma marca tem distribuição Rayleigh. A seguinte amostra foi observada:
0,77 1,57 1,09 0,53 1,29
Estime theta utilizando o estimador obtido no item anterior.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma amostra de tamanho f(xmid theta)=theta,xexpl-tfractheta2x^2r, x>=0 vinda de uma distribuição Rayleigh com densidade
O objetivo é estimar o parâmetro usando o estimador de máxima verossimilhança (que foi “obtido no item anterior”). Para isso, a gente vai montar a função verossimilhança, transformar em log-verossimilhança, derivar em relação a e resolver pra zero.

Passo 2

Primeiro a log-verossimilhança para os dados ell(theta) =sumi=1^nln f(ximidtheta) =sumi=1^nl[lntheta+ln xi-tfractheta2xi^2r] =nlntheta+sumi=1^nln xi ;-;theta2sumi=1^n xi^2 é
delldtheta =ntheta-12sumi=1^n xi^2
Agora derivamos
ntheta-12sum xi^2=0 Longrightarrow hattheta =2nsumi=1^n xi^2
e igualamos a zero:

Passo 3

Vamos calcular 0,77^2=0,5929, 1,57^2=2,4649, 1,09^2=1,1881, 0,53^2=0,2809, 1,29^2=1,6641 com os valores
sum xi^2 =0,5929+2,4649+1,1881+0,2809+1,6641 approx6,1909
Somando tudo:

Passo 4

Agora é só colocar na fórmula do MLE:
hattheta =2cdot56,1909 =106,1909 approx1,6155

Resposta

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