Obtenha o estimador, pelo método dos momentos, do parâmetro theta de uma distribuição exponencial.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente usar o método dos momentos pra achar um estimador de f(x)=theta e^-theta x, x>=0 na distribuição exponencial.
Conteúdo:
  • Distribuição Exponencial com parâmetro :
  • Método dos momentos: iguala momento populacional (teórico) ao momento amostral (prático).
    O que vamos precisar:
  1. Saber o primeiro momento (expectativa) de .
  2. Escrever o momento amostral correspondente (a média amostral).
  3. Igualar e resolver para .

Passo 2

Calcular a expectativa E[X]=integral0^inftyx,theta e^-theta x,dx da exponencial, que é o 1º momento teórico.
Por definição:
E[X] =[-x e^-theta x]0^infty +integral0^infty e^-theta x,dx =0 + [-tfrac1theta e^-theta x]0^infty =1theta
Usando integração por partes:
  • Seja mu1 = E[X] = 1theta e .
  • Então e .
    Fica
Logo, o momento teórico de ordem 1 é

Passo 3

Agora o momento amostral de ordem 1 (a média dos dados m1 = overline X = 1nsumi=1^n Xi ) é
m1 = mu1 Longrightarrow overline X = 1theta
Pelo método dos momentos, a gente impõe
hatthetarm MM =1overline X
Basta isolar :

Resposta

boxedhatthetarm MM = 1overline X,

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