Seja
uma amostra i.i.d. de uma Poisson (
).
Sabendo que
é o estimador de máxima verossimilhança de
, calcule
e
. Pode-se dizer que
seja
de
?
Sabendo que
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que
são i.i.d. de uma Poisson com parâmetro
. O estimador de máxima verossimilhança dado é
. A gente precisa calcular
-
e verificar seé um ENVUMV (estimador não-viesado de variância mínima) de .
Conteúdo que vamos usar: propriedades da distribuição de Poisson (média e variância) e fatos de estatística inferencial sobre MLE, estimadores não-viesados e estatística suficiente/completez.
Passo 2
Teoria que aplicamos:
- Se , então
e . - A amostra é i.i.d., então
. - Para soma de variáveis independentes,
e . - Propriedade de escala: se
, então e .
Passo 3
Calcular
:
Usando linearidade da esperança:
Passo 4
Calcular :
Como os
são independentes e cada :
Logo
Passo 5
Verificar se
é ENVUMV:
- Já vimos que
, então ele é não-viesado. - Para Poisson,
é estatística suficiente e completa para . Qualquer função não-viesada de (no caso ) é o UMVUE (ENVUMV) por teorema de Rao-Blackwell-Lehmann-Scheffé.
Resposta
Sim,