Seja X1, X2, ldots Xn uma amostra i.i.d. de uma Poisson ( theta ).
Sabendo que theta=barX é o estimador de máxima verossimilhança de theta, calcule E(theta) e Var(theta). Pode-se dizer que theta seja E N V U M V de theta?

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que são i.i.d. de uma Poisson com parâmetro . O estimador de máxima verossimilhança dado é . A gente precisa calcular

  • e verificar se é um ENVUMV (estimador não-viesado de variância mínima) de .
    Conteúdo que vamos usar: propriedades da distribuição de Poisson (média e variância) e fatos de estatística inferencial sobre MLE, estimadores não-viesados e estatística suficiente/completez.

Passo 2

Teoria que aplicamos:
  1. Se , então e .
  2. A amostra é i.i.d., então .
  3. Para soma de variáveis independentes, e .
  4. Propriedade de escala: se , então e .

Passo 3

Calcular hattheta = bar X = 1nsumi=1^n Xi :
E(bar X) = 1n sumi=1^n E(Xi) = 1n sumi=1^n theta = nthetan = theta
Usando linearidade da esperança:

Passo 4

Calcular :
Como os Var(bar X) = Varl(1nsumi=1^n Xir) = 1n^2Varl(sumi=1^n Xir) são independentes e cada :
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Passo 5

Verificar se é ENVUMV:
  1. Já vimos que , então ele é não-viesado.
  2. Para Poisson, é estatística suficiente e completa para . Qualquer função não-viesada de (no caso ) é o UMVUE (ENVUMV) por teorema de Rao-Blackwell-Lehmann-Scheffé.

Resposta


Sim, é um estimador não-viesado de variância mínima (ENVUMV) para .

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