Seja x1, x2, ldots, xn uma amostra de tamanho n, e k uma constante não-nula. Demonstre matematicamente:
que a adição de k a cada um dos dados da amostra resulta numa média amostral adicionada de k;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado pede. A gente tem uma amostra qualquer de tamanho yi = xi + k, i = 1,2,dots,n , com valores bar y = bar x + k . Aí chega uma constante (que é diferente de zero) e a gente soma esse em cada valor da amostra, ou seja, define novos valores
O objetivo é provar que, se é a média original dos e a média dos , então
Conteúdo que vamos usar: definição de média amostral e propriedade de soma (linearidade da soma e divisão).

Passo 2

Primeiro, relembre o que é média amostral. A média bar x ;=; 1nsumi=1^n xi dos é
Isso vem da ideia de “pegar todos os valores, somar e dividir pela quantidade de valores”.

Passo 3

Agora a gente define os novos valores bar y ;=; 1nsumi=1^n yi ;=; 1nsumi=1^n (xi + k) . Então a média sumi=1^n (xi + k) = sumi=1^n xi ;+;sumi=1^n k é
Aqui usamos a propriedade da soma dentro do somatório:

Passo 4

Como bar y = 1nl(sumi=1^n xi + nkr) = 1nsumi=1^n xi ;+;1n,nk = bar x + k é constante, . Logo

Resposta

boxedbar y = bar x + k
Ou seja, ao somar uma constante a todos os dados, a média também sobe exatamente .

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