Você certamente já se deparou com as duas seguintes formas de calcular desvio-padrão:
Em que situações deve-se usar cada uma delas?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão manda. Temos duas fórmulas de desvio-padrão:
- σ = √[ (1/N) Σ (xi – μ)² ]
- s = √[ (1/(n–1)) Σ (xi – x̄)² ]
O conteúdo aqui é Estatística, mais especificamente “medida de dispersão” e “estimativa de parâmetro”. Para resolver, precisamos entender:
- O que é população vs. amostra;
- Por que uma fórmula tem divisão por N e a outra por n–1 (correção de Bessel / graus de liberdade);
- Em que situação cada uma vale de fato.
Passo 2
Primeiro, o conceito de desvio-padrão: é só a raiz quadrada da variância, que mede o quanto os dados “espalham” em torno da média.
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Fórmula da população
σ = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}- Aqui N é o tamanho total da população (todos os elementos que você quer descrever).
- μ é a média verdadeira dessa população.
- Como você tem TODOS os dados e conhece a média exata, você divide por N.
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Fórmula da amostra
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}- Agora n é o tamanho da amostra (uma parte dos dados).
- \bar{x} é a média dessa amostra, que tenta “chutar” a média da população.
- Você divide por (n–1) em vez de n para corrigir o viés dessa estimativa (chamado correção de Bessel). Isso compensa o fato de que, ao usar \bar{x}, você “perdeu” um grau de liberdade.
Passo 3
Agora, quando usar cada uma delas na prática:
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Use σ (divisão por N) quando você tiver todos os dados que compõem o universo de interesse e souber μ de verdade. Exemplo: medir o desvio-padrão das alturas de todos os alunos de uma turma de 30 e a média for exatamente calculada sobre esses 30.
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Use s (divisão por n–1) quando você tiver apenas uma amostra de um universo maior e quiser estimar o desvio-padrão real dessa população. Exemplo: medir as alturas de 30 alunos escolhidos aleatoriamente entre 500 da escola e estimar o desvio-padrão de todos os 500.
Resposta
Você usa σ = \sqrt{\frac{1}{N}\sum(x_i - \mu)^2} quando tem TODA a população e conhece a média real μ.
Você usa s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(x_i - \bar{x})^2} quando tem só UMA amostra e quer estimar de forma não tendenciosa o desvio-padrão da população.
Você usa s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(x_i - \bar{x})^2} quando tem só UMA amostra e quer estimar de forma não tendenciosa o desvio-padrão da população.