Seja x1, x2, ldots, xn uma amostra de tamanho n, e k uma constante não-nula. Demonstre matematicamente:
que a multiplicação de cada um dos dados por k resulta numa média amostral multiplicada por k;

Passo 1

Resumo do enunciado:
Você tem uma amostra x1,x2,dots,xn de tamanho n e uma constante não-nula k. Queremos mostrar que, se a gente multiplica cada observação xi por k, a nova média amostral fica exatamente k vezes a média original.
Conteúdo e o que vamos precisar:
  • Definição de média amostral: barx=1nsumi=1^nxi.
  • Propriedade de linearidade da soma (podemos tirar constantes de dentro de uma soma).

Passo 2

Definindo a nova amostra.
Vamos chamar de yi cada valor escalado:
yi = k,xi, i=1,2,dots,n
A média amostral de y1,dots,yn é
bary ;=;1nsumi=1^nyi ;=;1nsumi=1^n(k,xi)

Passo 3

Aplicando a propriedade de linearidade da soma.
A teoria diz que, para qualquer constante k e sequência de números xi, vale
sumi=1^n(k,xi);=;ksumi=1^nxi
Isso é só a distributividade da multiplicação sobre a soma.

Passo 4

Substituindo essa propriedade na expressão de bary:
bary = 1nsumi=1^n(k,xi) = 1nl(ksumi=1^nxir) = k;1nsumi=1^nxi = k,barx
Pronto, mostramos passo a passo que a média escala do jeito que a gente queria.

Resposta

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