Seja x1, x2, ldots, xn uma amostra de tamanho n, e k uma constante não-nula. Demonstre matematicamente:
que a adição de uma constante k a cada um dos dados não altera a variância da amostra;

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos uma amostra sx^2 = 1n-1 sumi=1^n (xi - bar x)^2, e uma constante . A gente precisa mostrar que, se a gente cria novos dados , a variância amostral de é a mesma que a variância amostral de .
Conteúdo: estatística descritiva (média, variância) e propriedades de soma.
O que vamos usar:
  1. Definição de variância amostral: onde .
  2. Propriedade de média de soma de constantes: .
  3. Manipulação algébrica simples em somatórios.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os novos dados de bar y = 1n sumi=1^n yi = 1n sumi=1^n (xi + k) = 1n l(sumi=1^n xi + sumi=1^n kr) = bar x + k . A média deles é
Isso é só usar linearidade da soma: somar n vezes dá .

Passo 3

Agora a variância amostral dos sy^2 = 1n-1 sumi=1^n (yi - bar y)^2 = 1n-1 sumi=1^n l((xi + k) - (bar x + k)r)^2 é
(xi + k) - (bar x + k) = xi - bar x
Dentro do quadrado, o sy^2 = 1n-1 sumi=1^n (xi - bar x)^2 = sx^2 e o se cancelam:
Então

Resposta

A variância amostral não muda: .

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