Seja uma amostra de tamanho , e uma constante não-nula. Demonstre matematicamente:
que a adição de uma constante a cada um dos dados não altera a variância da amostra;
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos uma amostra e uma constante . A gente precisa mostrar que, se a gente cria novos dados , a variância amostral de é a mesma que a variância amostral de .
Conteúdo: estatística descritiva (média, variância) e propriedades de soma.
O que vamos usar:
Definição de variância amostral:onde .
Propriedade de média de soma de constantes: .
Manipulação algébrica simples em somatórios.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os novos dados de bar y = 1n sumi=1^n yi = 1n sumi=1^n (xi + k) = 1n l(sumi=1^n xi + sumi=1^n kr) = bar x + k . A média deles é
Isso é só usar linearidade da soma: somar n vezes dá .
Passo 3
Agora a variância amostral dos sy^2 = 1n-1 sumi=1^n (yi - bar y)^2 = 1n-1 sumi=1^n l((xi + k) - (bar x + k)r)^2 é
(xi + k) - (bar x + k) = xi - bar x
Dentro do quadrado, o sy^2 = 1n-1 sumi=1^n (xi - bar x)^2 = sx^2 e o se cancelam: