Seja uma amostra de uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo . Verifique se o estimador de pelo método da máxima verossimilhança é consistente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma amostra vinda de uma distribuição uniforme no intervalo . A nossa missão é achar o estimador de pelo método da máxima verossimilhança e depois mostrar que esse estimador é consistente (ou seja, ele “acerta” conforme aumentamos ). Para isso vamos precisar de:
Como montar a função de verossimilhança para a uniforme.
Saber o que é um estimador de máxima verossimilhança (MLE).
A definição de consistência: .
Passo 2
Montando a verossimilhança. Como Xisim U(0,theta), a densidade de cada Xi é
f(xi;theta)=1theta,&0á
Como são independentes, a verossimilhança é
$$L(\theta)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)
O estimador de máxima verossimilhança é hatthetarm MLE=maxX1,dots,Xn e ele é consistente, pois P(|hatthetarm MLE-theta|>varepsilon)to0 quando ntoinfty.