Seja X1, X2, ldots, Xn uma amostra de uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo (0, theta). Verifique se o estimador de theta pelo método da máxima verossimilhança é consistente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma amostra X1,dots,Xn vinda de uma distribuição uniforme no intervalo (0,theta). A nossa missão é achar o estimador de theta pelo método da máxima verossimilhança e depois mostrar que esse estimador é consistente (ou seja, ele “acerta” theta conforme aumentamos n). Para isso vamos precisar de:
  • Como montar a função de verossimilhança para a uniforme.
  • Saber o que é um estimador de máxima verossimilhança (MLE).
  • A definição de consistência: hatthetan xrightarrowP theta.

Passo 2

Montando a verossimilhança. Como Xisim U(0,theta), a densidade de cada Xi é
f(xi;theta)=1theta,&0á
Como são independentes, a verossimilhança é
$$L(\theta)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)
= L(theta)=prodi=1^n f(xi;theta) =dfrac1theta^n,&maxi xi thetaãçéá\hat\theta_{\rm MLE}=\max{X_1,\dots,X_n}.$$

Passo 3

Agora a consistência. A definição é: hatthetan é consistente para theta se, para todo varepsilon>0,
Pl(|hatthetan-theta|>varepsilonr)xrightarrowntoinfty0
Aqui hatthetan=max Xi. Vamos calcular
$$P\bigl(|\max X_i-\theta|>\varepsilon\bigr)
=P\bigl(\max X_i<\theta-\varepsilon\bigr)
\quad(porque nunca podemos ter\max X_i>\theta). Pl(|max Xi-theta|>varepsilonr) =Pl(max Xitheta)ãP(\max X_i<\theta-\varepsilon)
=\prod_{i=1}^n P(X_i<\theta-\varepsilon)
=\Bigl(\frac{\theta-\varepsilon}{\theta}\Bigr)^n. XiP\bigl(|\hat\theta_n-\theta|>\varepsilon\bigr)\to0,$$
logo P(max Xi é consistente.

Resposta

O estimador de máxima verossimilhança é hatthetarm MLE=maxX1,dots,Xn e ele é consistente, pois P(|hatthetarm MLE-theta|>varepsilon)to0 quando ntoinfty.

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