10 Sejam u, v in E vetores num espaço com p.i. Mostre que:
|lang<= u, vrang<=|=|u||v| Leftrightarrowu, v é um conjunto ld é

Passo 1

O enunciado está em um espaço vetorial E com produto interno e norma associada, e pede para mostrar que a igualdade na desigualdade de Cauchy–Schwarz,
|lang<= u,vrang<=| <= |u||v|,
ocorre precisamente quando u e v são linearmente dependentes. Vamos usar a definição de dependência linear (existe alpha tal que u=alpha v ou v=0) e a prova clássica do caso de igualdade em Cauchy–Schwarz.

Passo 2

( to) Suponha u,v linearmente dependente.
Se u=0 ou v=0, então lang<= u,vrang<==0 e |u||v|=0, logo
|lang<= u,vrang<=| = 0 = |u||v|
Se u=alpha v com alphaneq0, então
lang<= u,vrang<= = lang<= alpha v,vrang<= = alpha,|v|^2 Longrightarrow |lang<= u,vrang<=| = |alpha|,|v|^2 = |alpha v|,|v| = |u|,|v|

Passo 3

(\leftarrow) Agora suponha que
|lang<= u,vrang<=| = |u||v|
Se v=0, temos imediatamente u e v dependentes. Se vneq0, definimos o vetor
w = u - lang<= u,vrang<=|v|^2,v
Por construção,
lang<= w,vrang<= = lang<= u,vrang<= - lang<= u,vrang<=|v|^2,lang<= v,vrang<= = 0
Além disso, pela decomposição ortogonal,
|u|^2 = l|lang<= u,vrang<=|v|^2vr|^2 + |w|^2 = |lang<= u,vrang<=|^2|v|^2 + |w|^2
A igualdade |lang<= u,vrang<=|^2 = |u|^2|v|^2 implica |w|^2=0, ou seja w=0. Assim
u = lang<= u,vrang<=|v|^2,v,
mostrando que u é múltiplo de v e, portanto, u,v é linearmente dependente.

Resposta

Ficou demonstrado que
|lang<= u,vrang<=| = |u||v| Leftrightarrow u,v é linearmente dependente é

Exercícios relacionados