O enunciado está em um espaço vetorial com produto interno e norma associada, e pede para mostrar que a igualdade na desigualdade de Cauchy–Schwarz,
ocorre precisamente quando e são linearmente dependentes. Vamos usar a definição de dependência linear (existe tal que ou ) e a prova clássica do caso de igualdade em Cauchy–Schwarz.
Passo 2
() Suponha linearmente dependente.
Se ou , então e , logo
Se com , então
Passo 3
(\leftarrow) Agora suponha que
Se , temos imediatamente e dependentes. Se , definimos o vetor
Por construção,
Além disso, pela decomposição ortogonal,
A igualdade |lang<= u,vrang<=|^2 = |u|^2|v|^2 implica |w|^2=0, ou seja w=0. Assim
u = lang<= u,vrang<=|v|^2,v,
mostrando que u é múltiplo de v e, portanto, u,v é linearmente dependente.
Resposta
Ficou demonstrado que
|lang<= u,vrang<=| = |u||v| Leftrightarrow u,v é linearmente dependente é