Seja
uma v.a. com distribuicao
. Suponha que as v.a.s
e
são independentes. Usando apenas as v.a.s
e
:
Dê um exemplo de uma estatística que tenha distribuição
;
Dê um exemplo de uma estatística que tenha distribuição
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício diz que
• X₁∼N(1,1), X₂∼N(2,4) e X₃∼N(3,9) são independentes.
• Queremos construir uma estatística com distribuição F(1,2).
• X₁∼N(1,1), X₂∼N(2,4) e X₃∼N(3,9) são independentes.
• Queremos construir uma estatística com distribuição F(1,2).
Conteúdo que vamos usar:
- Se Z∼N(0,1), então Z²∼χ²(1).
- Se X∼N(µ,σ²), então (X–µ)²/σ²∼χ²(1).
- Soma de χ² independentes soma os graus de liberdade.
- Se U∼χ²(d₁) e V∼χ²(d₂) independentes, então
F = (U/d₁)/(V/d₂) ∼ F(d₁,d₂).
Passo 2
Primeiro, vou construir um χ²(1) usando X₁.
X₁∼N(1,1) ⇒ (X₁–1)∼N(0,1) ⇒
U = (X₁–1)²/1 = (X₁–1)² ∼ χ²(1).
X₁∼N(1,1) ⇒ (X₁–1)∼N(0,1) ⇒
U = (X₁–1)²/1 = (X₁–1)² ∼ χ²(1).
Passo 3
Agora quero um χ²(2) usando X₂ e X₃.
X₂∼N(2,4) ⇒ (X₂–2)²/4 ∼ χ²(1),
X₃∼N(3,9) ⇒ (X₃–3)²/9 ∼ χ²(1).
Como X₂ e X₃ são independentes, a soma
V = (X₂–2)²/4 + (X₃–3)²/9
é χ²(1+1)=χ²(2).
X₂∼N(2,4) ⇒ (X₂–2)²/4 ∼ χ²(1),
X₃∼N(3,9) ⇒ (X₃–3)²/9 ∼ χ²(1).
Como X₂ e X₃ são independentes, a soma
V = (X₂–2)²/4 + (X₃–3)²/9
é χ²(1+1)=χ²(2).
Passo 4
Agora, pela definição de F, com U∼χ²(1) e V∼χ²(2), temos
F = (U/1)/(V/2) ∼ F(1,2).
Substituindo U e V:
F = (U/1)/(V/2) ∼ F(1,2).
Substituindo U e V:
Resposta
Um exemplo de estatística com distribuição F(1,2) é