Seja Xi uma v.a. com distribuicao N(i i^2), i=1,2,3. Suponha que as v.a.s X1, X2 e X3 são independentes. Usando apenas as v.a.s X1, X2 e X3 :
Dê um exemplo de uma estatística que tenha distribuição F(1,2);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício diz que
• X₁∼N(1,1), X₂∼N(2,4) e X₃∼N(3,9) são independentes.
• Queremos construir uma estatística com distribuição F(1,2).
Conteúdo que vamos usar:
  1. Se Z∼N(0,1), então Z²∼χ²(1).
  2. Se X∼N(µ,σ²), então (X–µ)²/σ²∼χ²(1).
  3. Soma de χ² independentes soma os graus de liberdade.
  4. Se U∼χ²(d₁) e V∼χ²(d₂) independentes, então
    F = (U/d₁)/(V/d₂) ∼ F(d₁,d₂).

Passo 2

Primeiro, vou construir um χ²(1) usando X₁.
X₁∼N(1,1) ⇒ (X₁–1)∼N(0,1) ⇒
U = (X₁–1)²/1 = (X₁–1)² ∼ χ²(1).

Passo 3

Agora quero um χ²(2) usando X₂ e X₃.
X₂∼N(2,4) ⇒ (X₂–2)²/4 ∼ χ²(1),
X₃∼N(3,9) ⇒ (X₃–3)²/9 ∼ χ²(1).
Como X₂ e X₃ são independentes, a soma
V = (X₂–2)²/4 + (X₃–3)²/9
é χ²(1+1)=χ²(2).

Passo 4

Agora, pela definição de F, com U∼χ²(1) e V∼χ²(2), temos
F = (U/1)/(V/2) ∼ F(1,2).
Substituindo U e V:
F ;=; (X₁-1)^2(X₂-2)^24 + (X₃-3)^29,/,2,

Resposta

Um exemplo de estatística com distribuição F(1,2) é
F ;=; (X1 - 1)^2l((X2 - 2)^2/4 + (X3 - 3)^2/9r)/2,

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