Seja
uma v.a. com distribuicao
. Suponha que as v.a.s
e
são independentes. Usando apenas as v.a.s
e
:
Dê um exemplo de uma estatística que tenha distribuição
.
Dê um exemplo de uma estatística que tenha distribuição
Passo 1
Beleza, aqui o problema diz que a gente tem três variáveis independentes
X₁∼N(1,1²), X₂∼N(2,2²) e X₃∼N(3,3²), e quer um exemplo de estatística que siga uma distribuição t com 2 graus de liberdade.
O conteúdo é distribuição normal, qui-quadrado e t-Student. Vamos precisar usar:
X₁∼N(1,1²), X₂∼N(2,2²) e X₃∼N(3,3²), e quer um exemplo de estatística que siga uma distribuição t com 2 graus de liberdade.
O conteúdo é distribuição normal, qui-quadrado e t-Student. Vamos precisar usar:
- Transformar cada Xᵢ em uma normal padrão Zᵢ.
- Saber que soma de quadrados de normais padrão é χ².
- Saber que razão Normal padrão / √(χ²/df) é t-Student.
Passo 2
Primeiro, transformamos cada Xᵢ em Zᵢ∼N(0,1):
Z₁ = (X₁−1)/1,
Z₂ = (X₂−2)/2,
Z₃ = (X₃−3)/3.
Por propriedade da normal: se X∼N(μ,σ²) então (X−μ)/σ∼N(0,1).
Z₁ = (X₁−1)/1,
Z₂ = (X₂−2)/2,
Z₃ = (X₃−3)/3.
Por propriedade da normal: se X∼N(μ,σ²) então (X−μ)/σ∼N(0,1).
Passo 3
Aí, reconhecemos que a soma dos quadrados de Z₂ e Z₃ é qui-quadrado com 2 graus de liberdade:
Z₂² + Z₃² ∼ χ²(2).
Isso vem da definição: soma de k normais padrão independentes ao quadrado é χ²(k).
Z₂² + Z₃² ∼ χ²(2).
Isso vem da definição: soma de k normais padrão independentes ao quadrado é χ²(k).
Passo 4
Por fim, a estatística
é, por definição, uma razão de normal padrão e raiz de qui-quadrado dividida pelos graus de liberdade, logo
Resposta
Um exemplo de estatística com distribuição
é