Seja Xi uma v.a. com distribuicao N(i i^2), i=1,2,3. Suponha que as v.a.s X1, X2 e X3 são independentes. Usando apenas as v.a.s X1, X2 e X3 :
Dê um exemplo de uma estatística que tenha distribuição t2.

Passo 1

Beleza, aqui o problema diz que a gente tem três variáveis independentes
X₁∼N(1,1²), X₂∼N(2,2²) e X₃∼N(3,3²), e quer um exemplo de estatística que siga uma distribuição t com 2 graus de liberdade.
O conteúdo é distribuição normal, qui-quadrado e t-Student. Vamos precisar usar:
  • Transformar cada Xᵢ em uma normal padrão Zᵢ.
  • Saber que soma de quadrados de normais padrão é χ².
  • Saber que razão Normal padrão / √(χ²/df) é t-Student.

Passo 2

Primeiro, transformamos cada Xᵢ em Zᵢ∼N(0,1):
Z₁ = (X₁−1)/1,
Z₂ = (X₂−2)/2,
Z₃ = (X₃−3)/3.
Por propriedade da normal: se X∼N(μ,σ²) então (X−μ)/σ∼N(0,1).

Passo 3

Aí, reconhecemos que a soma dos quadrados de Z₂ e Z₃ é qui-quadrado com 2 graus de liberdade:
Z₂² + Z₃² ∼ χ²(2).
Isso vem da definição: soma de k normais padrão independentes ao quadrado é χ²(k).

Passo 4

Por fim, a estatística
T ;=;Z₁raizl(Z₂²+Z₃²r)/2²²
é, por definição, uma razão de normal padrão e raiz de qui-quadrado dividida pelos graus de liberdade, logo
Tsim t2

Resposta

Um exemplo de estatística com distribuição t2 é
boxed,T=X1-11raizl(X2-22r)^2+l(X3-33r)^22sim t2,

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