Seja uma sequência Xn ; n >= 1 de variáveis aleatórias independentes. P(Xn= pm 2^n)=2^-(2 n+1) e P(Xn=0)=1-2^-2 n, n >= 1. Verifique se 1n sumi=1^n Xn converge em probabilidade e qual seria o limite.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Nós temos uma sequência de variáveis aleatórias independentes Xn; n >= 1. Cada Xn pode ser pm 2^n com probabilidade 2^-(2n+1) ou 0 com probabilidade 1 - 2^-2n. A gente quer saber se a média 1n sumi=1^n Xi converge em probabilidade conforme n cresce e, se sim, qual é esse limite. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de convergência de sequências de variáveis aleatórias e trabalhar com probabilidades e expectativas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa convergência em probabilidade. Dizemos que 1n sumi=1^n Xi converge em probabilidade para um valor c se, para qualquer epsilon > 0, a probabilidade de |1n sumi=1^n Xi - c| > epsilon tende a zero quando n tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos calcular a esperança matemática E[Xn] de cada variável Xn. A esperança é basicamente a média ponderada dos valores possíveis.
E[Xn] = (-2^n) cdot 2^-(2n+1) + 0 cdot (1 - 2^-2n) + 2^n cdot 2^-(2n+1) = 0
Isso porque os termos positivos e negativos se cancelam.

Passo 4

Em seguida, calculamos a variância Var(Xn) de cada Xn. A variância nos dá uma ideia de quanto os valores de Xn variam em torno da média.
Var(Xn) = E[Xn^2] - (E[Xn])^2 = E[Xn^2]
Como E[Xn] = 0, temos:
E[Xn^2] = (2^n)^2 cdot 2^-(2n+1) + 0^2 cdot (1 - 2^-2n) + (2^n)^2 cdot 2^-(2n+1) = 2^2n cdot 2^-(2n+1) cdot 2 = 2^-1 = 12
Então, Var(Xn) = 12.

Passo 5

Agora, vamos considerar a soma Sn = sumi=1^n Xi. Como as Xi são independentes, a variância da soma é a soma das variâncias individuais:
Var(Sn) = sumi=1^n Var(Xi) = n cdot 12 = n2

Passo 6

Queremos analisar a média Snn. Vamos calcular a variância dessa média:
Var(Snn) = Var(Sn)n^2 = n/2n^2 = 12n
À medida que n cresce, 12n tende a zero.

Passo 7

Pela Lei Fraca dos Grandes Números, se a média de variância tende a zero, então Snn converge em probabilidade para a média das esperanças, que no nosso caso é zero.

Resposta

Sim, 1n sumi=1^n Xi converge em probabilidade para 0.

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