Seja uma sequência de variáveis aleatórias independentes. e . Verifique se converge em probabilidade e qual seria o limite.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Nós temos uma sequência de variáveis aleatórias independentes . Cada pode ser com probabilidade ou com probabilidade . A gente quer saber se a média converge em probabilidade conforme cresce e, se sim, qual é esse limite. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de convergência de sequências de variáveis aleatórias e trabalhar com probabilidades e expectativas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa convergência em probabilidade. Dizemos que converge em probabilidade para um valor se, para qualquer , a probabilidade de tende a zero quando n tende ao infinito.
Passo 3
Agora, vamos calcular a esperança matemática E[Xn] de cada variável Xn. A esperança é basicamente a média ponderada dos valores possíveis.
Agora, vamos considerar a soma Sn = sumi=1^n Xi. Como as Xi são independentes, a variância da soma é a soma das variâncias individuais:
Var(Sn) = sumi=1^n Var(Xi) = n cdot 12 = n2
Passo 6
Queremos analisar a média Snn. Vamos calcular a variância dessa média:
Var(Snn) = Var(Sn)n^2 = n/2n^2 = 12n
À medida que n cresce, 12n tende a zero.
Passo 7
Pela Lei Fraca dos Grandes Números, se a média de variância tende a zero, então Snn converge em probabilidade para a média das esperanças, que no nosso caso é zero.
Resposta
Sim, 1n sumi=1^n Xi converge em probabilidade para 0.