Seja y=1x. Ache d^5 yd x^5.

Passo 1

O exercício pede a 5ª derivada de y=1/x. O conteúdo aqui é derivadas de ordem superior usando a regra de potência, e vamos precisar reconhecer um padrão geral para não derivar termo a termo cinco vezes.

Passo 2

Reescrevendo y como x^-1 e lembrando a regra de potência: para qualquer expoente m vale
ddx,x^m=m,x^m-1

Passo 3

Usando essa ideia, há uma fórmula geral para a derivada de ordem n de x^m:
d^ndx^nx^m=m(m-1)(m-2)cdots(m-n+1),x^m-n

Passo 4

Agora aplicamos com m=-1 e n=5. O coeficiente é
(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)=(-1)^5cdot5!=-120
e a potência fica x^-1-5=x^-6. Portanto,
d^5ydx^5=-120,x^-6

Resposta

-120 x^-6

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